回复 6# kuing
但是$x_1x_2<1$证起来比较麻烦啊。记$g(x) = \frac{\mathrm{e}^x}{x}$,构造函数
$h(x) = g(x)-g\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\mathrm{e}^x}{x}-x\mathrm{e}^{\frac{1}{x}},x\in(0,1)$
注意到$h(1)=0$,且$h'(x)=\frac{(x-1)(\mathrm{e}^x-x\mathrm{e}^{\frac{1}{x}})}{x^2}$。
令$p(x) = \mathrm{e}^x-x\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$,$p'(x)=\mathrm{e}^x+\frac{1-x}{x}\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}>0$
所以$p(x)<p(1)=0,x\in(0,1)$,所以$h'(x)>0,x\in(0,1)$,$h(x)<h(1)=0,x\in(0,1)$.
当$x_1\in(0,1)$时,$h(x_1)=g(x_1)-g\left(\frac{1}{x_1}\right)<0$
所以$g(x_1)<g\left(\frac{1}{x_1}\right)$,即$g(x_2)<g\left(\frac{1}{x_1}\right)$,而$g(x)在(1,+\infty)$单增,所以$x_2<\frac{1}{x_1}$,得证. |