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[几何] 几何很浓的向量高三一调填空题:$\vv {BD}=x\vv{BA}+y\vv{BC}$

福州2018年3月高三理科一调第16题(有答案,可自查)
fz2018.png
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回复 2# kuing


最好,$AC$的斜率改为$-\tan \alpha$,当然,浪费掉好的题的方法,是抢时间的,推荐的

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回复  kuing
但我理解了isee的几何方法,等量延长CB至E,再延长AE、DB交于F,利用垂直条件和2倍角,立得AE ...
其妙 发表于 2018-4-14 01:51

啧,浓浓几何味

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回复 6# 色k

哎,服了服了。。。。。外星人,k

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回复  kuing
但我理解了isee的几何方法,等量延长CB至E,再延长AE、DB交于F,利用垂直条件和2倍角,立得AE ...
其妙 发表于 2018-4-14 01:51


还能更简些(好像是标答给的)。

延长AB,DC相交于点M,则
\begin{align*}
\vv {BD}&=x\vv{BA}+y\vv{BC}\\
&=-x\vv{BM}+y\vv{BC}\\
\therefore -x+y&=1
\end{align*}

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两种辅助线方法本质上是一样的,都是构造等腰三角形的三线合一,此时两种辅助线方法都成功的利用了“垂直 ...
其妙 发表于 2018-4-14 15:51


扯,辅助线少多了。不听你说的

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本帖最后由 isee 于 2018-4-17 17:28 编辑

只能说,论坛里的朋友水准真的很高,不仅秒了,且看透了问题的实际。


考场硬算。

另解

$$\vv {BD}=x\vv{BA}+y\vv{BC}\iff \vv {CD}=x\vv{BA}+(y-1)\vv{BC}.$$
两边分别点乘$\vv{BA},\vv{BC}$可得到
$$\left\{\begin{aligned} \vv{CD}\cdot {BA}=xBA^2,\\\vv{CD}\cdot \vv{BC}=(y-1)BC^2 \end{aligned}\right.$$

设$\angle ACB=\alpha$,则$\angle ACD=\pi-\alpha$,方便书写,记$BC=a,AB=c,\frac{CD}{AC}=m$,
$$\left\{\begin{aligned} x=CD\sin\alpha=m,\\y=m+1\end{aligned}\right.\Rightarrow x-y=-1.$$

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本帖最后由 isee 于 2018-4-17 17:43 编辑

另另解

fz2018d.png
2018-4-17 17:32



将$\triangle ABC$沿$AC$翻折得到$\triangle ABE$,由题设可知$$AE \sslash DC.$$

\begin{align*}
\vv {BD}&=x\vv{BA}+y\vv{BC}\\
\vv {CD}&=x(-0.5\vv{EC}+\vv{EA})+(y-1)\cdot 0.5\vv{EC}\\
\vv {CD}&=-0.5(x-y+1)\vv{EC}+x\vv{EA}
\end{align*}

又$$\vv{AE} \sslash \vv{DC}.$$
故$$-0.5(x-y+1)=0.$$

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