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[函数] 就好奇会有几个解

当$0\le x <2$时,$f(x)=(2-[x])\abs{x-1}$,其中[x]是取整函数,即表示不超过x的最大整数;又f(2)=1.
定义$f_1(x)=f(x),f_2(x)=f(f_1(x)),...,f_n(x)=f(f_{n-1}(x))$.
原题仅仅是判断命题:$f_{12}(x)=x,x\in [0,2]$至少有8个不同的解.
我的问题是,会有m个不同的解,m大概怎么样?
0,1,2,1/3,2/3 ,1/5,2/5,3/5,4/5,6/5,都是解,?/12,?/9也有几个,估计?/6应该也会有
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简直多到吓死人
QQ截图20180402231905.png
2018-4-2 23:19
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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列出 $f_1(x)$ 到 $f_8(x)$ 来看,线段的条数满足肥波拉鸡数列,但又不是每条线段都和 $y=x$ 香蕉……

QQ截图20180403022848.gif
2018-4-3 02:34
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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线段的条数满足肥波拉鸡数列,真意外,很神奇,怎么想明白这个?
从图像看大概,高度2的“山峰”与y=x有2个交点,
高度1的,在x=1左侧的有2个,右侧没有,
从几个图看,x=1左侧的峰多余右侧
半个峰的似乎也有规律,也就是说,解的个数也许也有规律

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f(2)=1,f(1)=0,f(0)=2.
0~1和1~2都是单调。
这样,由第一个图可以一直变下去。

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记数列${a_n},{b_n},{c_n},{d_n},{e_n}$分别为$f_n(x)$在[0,2]的单调区间个数,值域为[0,2]的单调区间个数,值域为[0,1]的单调区间个数,定义域在[1,2]上值域为[0,2]的单调区间个数,定义域在[1,2]上值域为[0,1]的单调区间个数,那么这些数列都是斐波那契数列.
1楼的问题解有233+89=322个

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回复 6# realnumber

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记$f_n(x)$在[0,2]的单调区间个数${a_n} $,在[0,1]的单调区间个数${b_n} $,在[1,2]的单调区间个数${c_n} $,定义域在[1,2]上值域为[0,2]的单调区间个数$d_n$,定义域在[1,2]上值域为[0,1]的单调区间个数$e_n$,那么这些数列都是斐波那契数列.
5GT8W{_44H[7L_PSZMT.jpg
2018-4-13 21:17

1楼的问题解有$b_{12}+d_{12}=233+89=322$个(一般情景$f_n(x)=x$的解的个数是$b_{n}+d_{n}$)
这些区间具有如下形式,化简后是[$\frac{a}{2^m},\frac{b}{2^n}$],a,b,m,n 都是自然数.线段所在的直线方程系数可以都是有理数,这样322个解的话都是有理数.
这322个解,化简后,分母最小是1了,分母最大是多少?还能用哪些角度去描述?

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这题要人命啊。。。。。

有没有可能引用三角代换之类的,一个分段的定义域名总在[0,1],值域总是在[0,2]

或不动点,产生简单的迭代?

楼上图上交点个数,猜测规律为$$1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322$$
在临场上,第5个图已经很难画了,难度还是大

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