设总共有$x$个,每次取走的数量分别是$k_1,k_2,k_3,k_4$个(包括取走的一堆,但不包括多出的那一个),则
\begin{cases}
x-1=4k_1\\
(4-1)k_1-1=4k_2\\
(4-1)k_2-1=4k_3\\
(4-1)k_3-1=4k_4
\end{cases}
把后三个方程两边各加$4$,之后再乘起来,可以得到$(4-1)^{4-1}(k_1+1)=4^{4-1}k_4$,因为$4 \nmid 4-1$,所以必须有$k_1+1=4^{4-1}m$,其中$m$是正整数。再代回方程一就得到$x=1+4(-1+4^{4-1}m)$,其中$m$最小是$1$,所以$x$最小是$253$。对任意的$n$次取走,都有初始的最小数为$x=1+n(-1+n^{n-1})=n^n-n+1$,只要代入$n$就可以。 |