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回复 34# huing
用原命题推导弓形面积时要加上如下假设:
抛物弓形外切三角形面积与弓形面积的比值是定值

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本帖最后由 player1703 于 2018-10-21 19:54 编辑

回复 37# huing
用弓形面积证明原题很简单过程就是你证明的最后几行我的和你一样. 其实我的意思是如果只从原题结论$\S{CDE}=\frac{1}{2}\S{PAB}$出发推出弓形面积. 因为你说的是等价我以为可以几步简单搞定. 事实上只通过$\S{CDE}=\frac{1}{2}\S{PAB}$ 加上$DE\px AB$可以证明$DE$是中位线但是无法说明$P$是$DE$的中点. 用极限当然可以(不需要用到$P$是$DE$的中点)就是对于等价证明我觉得有点过于复杂了.
你的证明中$0=\frac{1}{2}⋅0$ 那步有点牵强用下面的无穷极数方法更好:
$\S{CDE}=\frac{1}{4}\S{CAB}$, $\S{PAB}=\frac{1}{2}\S{CAB}$
$\therefore \S{DAP} + \S{EBP} = \frac{1}{4}\S{CAB}$
在$\triangle DAP$和$\triangle EBP$内分别作平行于$AP$, $BP$ 的切线又围出两个小三角形, 这两个小三角面积之和为$\frac{1}{4}\S{DAP} + \frac{1}{4}\S{EBP} = \frac{1}{4}\left(\S{DAP} + \S{EBP}\right) = \frac{1}{4^2}\S{CAB}$
把这个面积加到$\S{CDE}$上就更逼近$\S{C\overline{AB}}$的面积
依此类推继续作更多小三角形, $n$ 步以后所有小三角形(包括$\triangle CDE$)面积总和为$\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\cdots+\frac{1}{4^{n-1}}\right)\S{CAB}=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{4^n}\right)\S{CAB}$
取极限$n\to\infty$就得到$\S{C\overline{AB}}=\frac{1}{3}\S{CAB}$
但是这么做其实还有问题, 就是你怎么严格证明极限最后一定等于弓形面积. 更完美的方法是内外同时逼近(里面逼近类似,具体步骤请看 http://lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5122339), 得到
$\frac{2}{3}\left(1-\left(\frac{1}{4}\right)^n\right)\S{CAB} \le S_{弓形BA\overline{AB}}\le \frac{2}{3}\left(1+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^n\right)\S{CAB}$
最后用夹逼原理.
其实仔细看最后一个不等式, 多出来的面积是少的面积的$\frac{1}{2}$, 本质上和你的证明是一模一样的只是用夹逼原理有了更严格的表述.

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