椭圆和双曲线没有这个性质,比值是变化的。抛物线的以前网友给我讲过,发上来:
设抛物线方程是$y=cx^2$,设三个切点是$A_i,i=1,2,3$,设坐标$A_i(x_i,cx_i^2)$,于是三条切线的方程是$2cx_ix-y-cx_i^2$,联立可得切线交点坐标$B_i(\frac{x_{i+1}+x_{i+2}}{2},cx_{i+1}x_{i+2})$,其中定义$x_4=x_1,x_5=x_2$,于是两三角形面积是
$\abs{\begin{bmatrix}
x_1 & cx_1^2 & 1\\
x_2 & cx_2^2 & 1\\
x_3 & cx_3^2 & 1
\end{bmatrix}/\begin{bmatrix}
\frac{x_1+x_2}{2} & cx_1x_2 & 1\\
\frac{x_2+x_3}{2} & cx_2x_3 & 1\\
\frac{x_3+x_1}{2} & cx_3x_1 & 1
\end{bmatrix}}=2$ |