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回复 8# zhcosin

就像之前这帖 http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5071 那样

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玩椭圆的话，不妨先从圆玩起，然后再用“伸缩变换”过渡到椭圆上。

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2018-4-2 16:53

如图，不妨设 $\odot O$ 为单位圆，设 $\angle POA=2\alpha$, $\angle POB=2\beta$（$2\alpha+2\beta<\pi$），则 $\triangle PAB$ 的两个角为 $\alpha$, $\beta$，于是由 $S=abc/(4R)$ 及正弦定理可知
\[\S{PAB}=2\sin\alpha\sin\beta\sin(\alpha+\beta),\]
因为 $DA=DP=\tan\alpha$，所以
\[S_{\text{四边形}DAOP}=\tan\alpha,\]
同理
\begin{align*}
S_{\text{四边形}EBOP}&=\tan\beta,\\
S_{\text{四边形}CAOB}&=\tan(\alpha+\beta),
\end{align*}
所以
\begin{align*}
\S{CDE}&=S_{\text{四边形}CAOB}
-S_{\text{四边形}DAOP}-S_{\text{四边形}EBOP}\\
&=\tan(\alpha+\beta)-\tan\alpha-\tan\beta\\
&=\tan\alpha\tan\beta\tan(\alpha+\beta),
\end{align*}
因此
\[\frac{\S{PAB}}{\S{CDE}}
=2\cos\alpha\cos\beta\cos(\alpha+\beta)
=\frac{1+\cos2\alpha+\cos2\beta+\cos(2\alpha+2\beta)}2,\]
为了搞伸缩，需要转化为坐标表达式，设圆心位于原点且 $P(x_0,y_0)$, $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$，则
\[\frac{\S{PAB}}{\S{CDE}}=
\frac12(1+x_0x_1+y_0y_1+x_0x_2+y_0y_2+x_1x_2+y_1y_2),\]
那么，将单位圆伸缩为椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 后，上式结论变为
\[\frac{\S{PAB}}{\S{CDE}}=
\frac12\left( 1+\frac{x_0x_1+x_0x_2+x_1x_2}{a^2}
+\frac{y_0y_1+y_0y_2+y_1y_2}{b^2} \right),\]
多漂亮的公式！

接下来将其搞成 11# 的公式，要上Baoli计算了。

设 $C(m,n)$，则熟知直线 $AB$ 的方程为 $mx/a^2+ny/b^2=1$，与椭圆方程联立后，用韦达可以算出
\begin{gather*}
x_1+x_2=\frac{2a^2b^2m}{a^2n^2+b^2m^2},
x_1x_2=\frac{a^4(b^2-n^2)}{a^2n^2+b^2m^2},\\
y_1+y_2=\frac{2a^2b^2n}{a^2n^2+b^2m^2},
y_1y_2=\frac{b^4(a^2-m^2)}{a^2n^2+b^2m^2},
\end{gather*}
代入上面的公式中化简，最终即得
\[\frac{\S{PAB}}{\S{CDE}}=
\frac{\frac{mx_0}{a^2}+\frac{ny_0}{b^2}+1}
{\frac{m^2}{a^2}+\frac{n^2}{b^2}},\]
也就是 11# 的结论。