免費論壇 繁體 | 簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
分享
返回列表 发帖

[数论] 初一数学,几道小题(例二在帖子:小学奥数里)

本帖最后由 子小仙人 于 2018-3-31 18:28 编辑

例一:我们规定:若一个自然数能表示成两个非零自然数的平方差,则把这两个自然数称为”智慧数”,如16=5^{2}-3^{2},则16称为智慧数。
请判断:在自然数列中,从1数起,第2000个智慧数是哪个数?

(初次发帖,多多关照
分享到: QQ空间QQ空间 腾讯微博腾讯微博 腾讯朋友腾讯朋友

$16=5^{2}-3^{2}$

TOP

  1. $16=5^{2}-3^{2}$
复制代码

TOP

回复 1# 子小仙人

对于任意奇自然数$k$,可令自然数$a=\frac{k+1}{2}, b=\frac{k-1}{2}$,使得
\[a^2-b^2=(a+b)(a-b)=k·1=k\]
故任意奇自然数均满足条件

对偶自然数$k$,显然若要有$a^2-b^2=k$,必须有$a,b$同奇偶性,若$a,b$同偶,有$a^2-b^2 \mod 4=0$,若$a,b$同奇,仍然有
\[a^2-b^2=(2p+1)^2-(2q+1)^2=4(p+q+1)(p-q) \mod 4=0\]
故必然有$k \mod 4=0$
而对于任意$k \mod 4=0$,令$a=\frac{k}{4}+1, b=\frac{k}{4}-1$,即可满足条件,故任意$k \mod 4=0$均满足条件

剩下楼主自己搞定吧

TOP

4也要去掉

TOP

本帖最后由 子小仙人 于 2018-3-31 18:27 编辑

水平有限,战巡的过程俺没看懂,不过隐隐约约的看出一点与俺相同之处。总结几点发现:
1、奇数总是可以看成智慧数(除1外)
2、4的倍数是智慧数(除4外)
3、除以4余2的数不是智慧数
即:                   2k+1(除1外)     满足条件
                         4k(除4外)       满足条件
                         4k+2              不满足条件
过程:          \[奇数:2^{k+1}=k+1^{2}-k^{2}
                                     =k^{2}+2k+1-k^{2}
                                     =2k+1\]
                   \[偶数:4k=k+1^{2}-k-1^{2}
                              =k^{2}+2k+1-k^{2}+2k-1
                              =4k\]
可总结为:
                     在4个数中,有3个数满足条件,有1个不满足条件。
                   (前4个数中只有1个数满足条件)
可得:       \[\frac{200}{3}=666……2
                  666x4=2664\]
结果即为2669

TOP

回复 6# 子小仙人

打代码不用点那个代码按钮,像你2楼那样打就行了

TOP

回复 7# kuing
哦,好的:)

TOP

水平有限,战巡的过程俺没看懂,不过隐隐约约的看出一点与俺相同之处。总结几点发现:
1、奇数总是可以看成 ...
子小仙人 发表于 2018-3-30 22:11



这个排版真是辛苦了,不过,排版方式却不推荐,纯手工。。。。

TOP

回复 9# isee
呵呵。初来乍到,还要学习啊!

TOP

返回列表 回复 发帖