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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 求助不等式证明(2018.04.17更新)
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dahool
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发表于 2018-3-27 09:25
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[不等式]
求助不等式证明(2018.04.17更新)
本帖最后由 dahool 于 2018-4-17 14:48 编辑
由于本人是不等式初学者,在努力提高自己的水平中,也正在看撸题集,有不少题目需要求助大家,这里要问下K神,我每一题单独发一个帖子,还是一个帖子中陆续更新?
题目01(2018.03.27):已知$a,b,c\geqslant0$,证明:$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{9(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}\geqslant6$$
题目02(2018.03.30):已知$a,b,c\geqslant0$,证明:$$\frac{a(b+c)}{a^2+bc}+\frac{b(a+c)}{b^2+ac}+\frac{c(a+b)}{c^2+ab}\geqslant2$$
题目03(2018.04.02):设$f=x+y+z-xyz$,其中$x,y,z\geqslant0$且$x^2+y^2+z^2=1$,求$f$的最大值与最小值.
题目04(2018.04.02):已知$a,b,c\inR^+,a+b+c=abc$,证明:$$\frac{1}{ab-1}+\frac{1}{bc-1}+\frac{1}{ca-1}\geqslant\frac{2}{1+a^2}+\frac{2}{1+b^2}+\frac{2}{1+c^2}$$
题目05(2018.04.03):设$x_i>0,i=0,1,2,\cdots,n$,且$\sum_{i=1}^{n}x_i=1$,设$x_0=0$,求证:$$1\leqslant\sum_{i=i}^{n}\frac{x_i}{\sqrt{1+x_1+x_2+\cdots+x_{i-1}}\cdot\sqrt{x_i+\cdots+x+n}}<\frac{\pi}{2}$$
题目06(2018.04.03):设$\alpha,\beta,\gamma$为锐角,且$cos^2\alpha+cos^2\beta+cos^2\gamma=1$,求证:对任意实数$x,y,z$都有:$$\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)\geqslant cot\beta\cdot cot\gamma\cdot yz+cot\gamma\cdot cot\alpha\cdot zx+cot\alpha\cdot cot\beta\cdot xy$$
题目07(2018.04.16):已知$a,b,c,d\inR$,且$ad-bc=1$,求$a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd$的最小值.
题目08(2018.04.17):已知$a,b,c>0$,求证:$$\frac{63}{2}+\frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}{abc}\geqslant\frac{27}{2}\cdot\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$$
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发表于 2018-3-27 10:08
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如果题目将会有很多,你可以将有关联的或者相似的归类到同一帖中,没关联的分开。
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发表于 2018-3-27 11:27
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1、发现恒等式
\begin{align*}
&\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{9(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2} - 6 \\
={}&\frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-3ab-3bc-3ca)^2+9abc(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)(a^2+b^2+c^2)}.
\end{align*}
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发表于 2018-3-27 17:33
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谢谢,但是你这种变形能力。。。。
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发表于 2018-3-30 16:27
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2、发现恒等式
\begin{align*}
&\frac{a(b+c)}{a^2+bc}+\frac{b(a+c)}{b^2+ac}+\frac{c(a+b)}{c^2+ab} - 2 \\
={}&\frac{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2+abc(a+b)(b+c)(c+a)}{(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)}.
\end{align*}
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发表于 2018-3-30 18:06
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k的恒等变形能看懂,自己搞出来几乎不可能,说我自己。
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发表于 2018-3-30 19:47
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谢谢!牛掰
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发表于 2018-4-2 12:04
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题目03 见《撸题集》P496 题目 4.6.74
题目04 齐次化去分母后就是 schur,很简单,过程略。
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发表于 2018-4-3 15:35
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只看该作者
题目 06,本来想提嵌入不等式,不过又涉及三角形里的一些代换,写起来可能变得很高端的样子,还是不扯太多了,直接用最原始的方法玩起来好了。
对任意实数 $x$, $y$, $z$,考查不等式
\[x^2+y^2+z^2\geqslant 2(pyz+qzx+rxy)\quad (*)\]
中的 $p$, $q$, $r$ 需要满足什么条件才会恒成立。
首先,当 $x=0$ 时,不等式变为 $y^2+z^2\geqslant 2pyz$,可见必须满足 $\abs p\leqslant1$,同理也需要 $\abs q$, $\abs r\leqslant1$。
令 $f=x^2+y^2+z^2-2(pyz+qzx+rxy)$,计算 $f$ 关于 $x$ 的判别式为
\begin{align*}
\Delta &=4\bigl( (ry+qz)^2-y^2-z^2+2pyz \bigr)\\
&=-4\bigl( (1-r^2)y^2+(1-q^2)z^2-2(qr+p)yz \bigr),
\end{align*}
需要 $\Delta\leqslant0$ 恒成立,就需要
\[(1-r^2)(1-q^2)\geqslant (qr+p)^2, \]
展开即
\[p^2+q^2+r^2+2pqr\leqslant 1, \quad (**)\]
综上,不等式 (*) 恒成立的条件就是 $p$, $q$, $r$ 的绝对值不超过 $1$ 且满足式 (**)。
回到题目 06,由条件可设 $\cos^2\alpha=u/(u+v+w)$ 等,则 $\cot^2\alpha=u/(v+w)$ 等,因此原不等式等价于
\[x^2+y^2+z^2\geqslant 2\sum\sqrt{\frac{vw}{(w+u)(u+v)}}yz,\]
根据上面的结论,只需验证 $\sqrt{\frac{vw}{(w+u)(u+v)}}$ 等三个数是否满足式 (**),代入发现刚刚好,即得证。
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发表于 2018-4-3 19:00
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发表于 2018-4-5 22:27
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题目03(2018.04.02):设$f=x+y+z−xyz$,其中$x,y,z\geqslant0$,且$x^2+y^2+z^2=1$,求$f$的最大值与最小值.
好像有很美妙的做法(据说是美国什么数学杂志刊物上的题)
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发表于 2018-4-5 22:46
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其妙
估计和《撸题集》P659 题目 5.1.56 差不多……
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发表于 2018-4-5 22:55
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续楼上:
最大值还真是可以学那题,只是柯西时要换一下位置,刚好可以分解:
\begin{align*}
(x+y+z-xyz)^2&=\bigl(x+y+(1-xy)z\bigr)^2\\
&\leqslant \bigl((x+y)^2+(1-xy)^2\bigr)(1+z^2)\\
&=(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)\\
&\leqslant \left( \frac{3+x^2+y^2+z^2}3 \right)^3\\
&=\frac{64}{27},
\end{align*}
开方即得
\[x+y+z-xyz\leqslant \frac8{3\sqrt3},\]
当 $x=y=z=\sqrt{1/3}$ 时取等。
很可惜,其妙已经提到“好像有很美妙的做法”,很可能就是这证法了。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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发表于 2018-4-16 12:06
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07见:
http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=4632
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发表于 2018-4-16 17:16
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色k
谢谢!!!
学到了,消项与配方又重新认识了
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发表于 2018-4-17 13:37
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08题用昨天这帖
http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5301
的方法可以搞,不过昨天已经被说暴力了,就不想再写了……
PS、这帖都翻页了,下次更新开另一帖吧……
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本身这题目的取等条件就不好找
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