这个没什么难度吧
令 $x=a+b$, $y=c+d$,由
\[\frac a{1+b^2}+\frac b{1+a^2}-\frac {4(a+b)}{4+(a+b)^2}=\frac {(a-b)^2(a+b)(a^2+3ab+b^2+1)}{(1+a^2)(1+b^2)\bigl(4+(a+b)^2\bigr)},\]
得到
\[\frac a{1+b^2}+\frac b{1+a^2}\geqslant \frac {4x}{4+x^2},\]
后两项同理,故
\[\text{原式}\geqslant \frac {4x}{4+x^2}+\frac {4y}{4+y^2},\]
又
\[\frac {4x}{4+x^2}+\frac {4y}{4+y^2}-\frac{4(x+y)}{4+(x+y)^2}=\frac {4xy(x+y)(x^2+xy+y^2+12)}{(4+x^2)(4+y^2)\bigl(4+(x+y)^2\bigr)},\]
所以
\[\text{原式}\geqslant\frac{4k}{4+k^2},\]
当 $a=b=0$, $c=d=k/2$ 或者反过来时取等。 |