[函数] 不动点

lrh2006

设f(x)=x2-3x-m（m是实数）,A={x|f(x)=x},B={x|f(f(x))=x},若A=B，且A不是空集，则实数m的取值范围是（    ）
请教各位，谢谢！

战巡

$f(x)=x$，得
\[x=2\pm\sqrt{4+m}\]   
$f(f(x))=x$，得
\[x=1\pm\sqrt{3+m}，2\pm\sqrt{4+m}\]
剩下自己看着办吧

lrh2006

回复 2# 战巡

谢谢， 我求出来了，就是f(f(x))=x的解太不好求了，战巡老师是怎么求的，能否指点一下？

kuing

=====此楼有疏漏，请看6楼=====

因为满足 $f(x)=x$ 的 $x$ 一定满足 $f(f(x))=x$，可见 $f(f(x))-x$ 一定含有因式 $f(x)-x$，于是，我们利用多项式除法，计算出
\[\frac{f(f(x))-x}{f(x)-x}=\frac{(x^2-3x-m)^2-3(x^2-3x-m)-m-x}{x^2-4x-m}=x^2-2x-2-m,\]
即
\[f(f(x))-x=(x^2-2x-2-m)(f(x)-x),\]
到这里，分歧来了，相信大家都会认为由 $A=B$ 将得出 $x^2-2x-2-m$ 的 $\Delta<0$ 或者 $x^2-2x-2-m$ 与 $f(x)-x$ 相同，但是，题目中并无要求 $x$ 是实数，这里是否应该默认 $x$ 为复数？
如果默认复数，那就没有判别式的事了，只能 $x^2-2x-2-m$ 与 $f(x)-x$ 相同，但后者为 $x^2-4x-m$，两者不可能相同，所以满足条件的 $m$ 不存在。
如果默认实数，那由于刚才已经分析出 $x^2-2x-2-m$ 与 $f(x)-x$ 不可能相同，于是只能 $\Delta<0$，得 $m<-3$。

所以，@所有命题者：这种题的条件最好这样写：定义在 $\mbb R$ 上的 $f(x)$……

kuing

哦不对，还漏了一种情况没考虑，就是 $\Delta=0$ 且那两个相等的实数根恰为 $A$ 中的其中一个元素时，这时 $m=-3$, $x^2-2x-2-m=(x-1)^2$, $f(x)-x=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$，恰好符合！因此 $m=-3$ 也是符合的，而且即便是默认复数也符合。

kuing

重新写一遍吧。

因为满足 $f(x)=x$ 的 $x$ 一定满足 $f(f(x))=x$，可见 $f(f(x))-x$ 一定含有因式 $f(x)-x$，于是，我们利用多项式除法，计算出
\[\frac{f(f(x))-x}{f(x)-x}
=\frac{(x^2-3x-m)^2-3(x^2-3x-m)-m-x}{x^2-4x-m}=x^2-2x-2-m,\]
即
\[f(f(x))-x=(x^2-2x-2-m)(f(x)-x),\]
记
\[C=\{x\mid x^2-2x-2-m=0\},\]
以及
\[\Delta=2^2+4(2+m)=4(m+3),\]
则
\[B=C\cup A,\]
那么
\[A=B \iff C\subseteq A. \quad (*)\]

由于题目没交待 $x$ 的范围是实数还是复数，这里分开讨论。


如果默认范围是复数：

（a1）若 $\Delta\ne0$，则 $C$ 有两个元素，而 $A$ 最多两个元素，那么要满足式 (*) 就只能 $C=A$，即 $x^2-2x-2-m=f(x)-x$ 恒成立，这显然不存在；

（a2）若 $\Delta=0$，则 $m=-3$，此时 $x^2-2x-2-m=(x-1)^2$, $f(x)-x=(x-1)(x-3)$，即 $C=\{1\}$, $A=\{1,3\}$，符合式 (*)，因此 $m=-3$ 符合题意。

综上得 $m=-3$；


如果默认范围是实数：

（b1）若 $\Delta<0$，则 $m<-3$，此时 $C=\kongji$，符合式 (*)；

（b2）若 $\Delta>0$，同（a1）的分析知不存在；

（b3）若 $\Delta=0$，同（a2）的分析知 $m=-3$。

最后还需要 $A$ 非空，即 $4^2+4m\geqslant0$, $m\geqslant-4$，因此综上得 $-4\leqslant m\leqslant -3$。

lrh2006

谢谢kk，赞美的话不多说，总之，作为k神的粉丝，无比骄傲

其妙

显然可以直接分解，求出战巡的那四个根$x_k,k=1,2,3,4$（允许相等，且虚根的话令$i=\sqrt{-1}$），
更有意思的是，再来一个方程$f(f(x)=f(x)$的四个根命名为$x_k,k=1,2,5,6$，那么这6个根$x_k,k=1,2,3,4，5,6$更有意思

lrh2006

回复 8# 其妙

其妙老师好，直接分解对我来说不显然呢

游客

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2018-3-28 16:26

nttz

回复 4# kuing
厉害