kuing

用复数乘法来玩这题确实不错，楼主不愿写过程，俺来写

令
\[w=\frac 12(\cos 60\du-i\sin 60\du),\]
将 $\vv{AB}$ 所对应的复数记为 $z(AB)$，将原点记为 $P_0$，则易知
\[z(P_0P_1)=w^{-1},\]
根据三角形的画法可知
\[z(P_kP_{k+1})=z(P_{k-1}P_k)\cdot w, \quad k=1,2,\ldots,\]
所以
\begin{align*}
z(P_0P_n)&=z(P_0P_1)+z(P_1P_2)+\cdots +z(P_{n-1}P_n)\\
&=w^{-1}+w^0+w+\cdots +w^{n-2}\\
&=w^{-1}\cdot \frac {1-w^n}{1-w},
\end{align*}
不难计算出
\[\frac {w^{-1}}{1-w}=2+\frac {2i}{\sqrt 3},\]
由什么佛定理有
\[1-w^n=1-\frac 1{2^n}\cos (n\cdot 60\du)+\frac 1{2^n}i\sin (n\cdot 60\du),\]
代入展开后即可得到楼上的结果。