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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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» 数学节快乐!积为1的不等式证明
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发表于 2018-3-13 21:14
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只看该作者
[不等式]
数学节快乐!积为1的不等式证明
本帖最后由 力工 于 2018-3-14 08:12 编辑
同条件两不等式:已知正数$a,b,c,abc=1$,证明:
(1)$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\geqslant a+b+c$;
(2)$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\geqslant \sqrt{3(a^2+b^2+c^2}$.
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发表于 2018-3-14 15:53
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只看该作者
是不是非齐次的都先考虑用代换齐次化?
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发表于 2018-3-14 14:34
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kuing
kuing果然神!一眼看破代换来的。
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发表于 2018-3-14 08:38
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只看该作者
很简单啊,作代换 $a=y/x$, $b=z/y$, $c=x/z$,则:
(1)显然成立;
(2)等价于
\[x^3+y^3+z^3\geqslant\sqrt{3(x^4y^2+y^4z^2+z^4x^2)},\]
两边平方即
\[\sum x^6+2\sum x^3y^3\geqslant3\sum x^4y^2,\]
而由均值恰好有 $x^6+x^3y^3+x^3y^3\geqslant3x^4y^2$,即得证。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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