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[不等式] 证明$a+\dfrac1a+b+\dfrac1b+\dfrac1{ab}>\dfrac92$

已知$a>0$,$b>0$,证明:$a+\dfrac1a+b+\dfrac1b+\dfrac1{ab}>\dfrac92$
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妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!

两边+1分解即
\[(a+b+1)\left(\frac1{ab}+1\right)>\frac{11}2,\]
只需证
\[(2t+1)\left(\frac1{t^2}+1\right)>\frac{11}2,\]
其中 $t=\sqrt{ab}$,去分母整理为
\[4t(t-1)^2-t^2+2>0,\]
当 $t^2\leqslant2$ 时显然成立;当 $t^2>2$ 时
\[\LHS>4t(t-1)\bigl(\sqrt2-1\bigr)-t^2+2
>1.5t(t-1)-t^2+2=0.5t^2+2-1.5t\geqslant2t-1.5t>0,\]
即得证。

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回复 2# kuing

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回复 3# 其妙

你这题得继续改呀,k随便放放就解决了,太宽了。(随便一说咯,k早已是“出神入化”了)

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回复 4# isee
就是比较宽,所以你可以试一试,

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本帖最后由 yao4015 于 2019-10-17 09:44 编辑

这个 A-G 可以解出
\begin{align*}
2\times \dfrac{a}{2}+\dfrac{1}{a}+2\times\dfrac{b}{2}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{ab}&
> 7 \sqrt[7]{\left( \dfrac{a}{2} \right ) ^2\dfrac{1}{a}\left(\dfrac{b}{2}\right)^2\dfrac{1}{b}\dfrac{1}{ab}}\\
&=7\sqrt[7]{\dfrac{1}{2^4}}\\
&>\dfrac{9}{2}
\end{align*}

如果稍稍多一点计算, 可以算出最小值是方程 $x^3+x^2-18x-43=0$ 的正根, 约为 $4.729$.

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回复 7# yao4015


原来是含7次根号的式子大于9/2,如何判断$7\sqrt[7]8>9$这个大小的?

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回复 8# isee

`\sqrt[7]8>\sqrt[8]9=\sqrt[4]3`,再证 `7\sqrt[4]3>9` 的话四次方做乘法计算还能接受吧?

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本帖最后由 业余的业余 于 2019-10-18 04:45 编辑

回复 8# isee

$7 \sqrt[7]{8}>9 \Longleftarrow 2^{\frac 37}>1.29>\frac 9 7$

对 $f(x)=x^{\frac 37}$ 在 $a=1$ 处做泰勒展开,取前三项

有 $f(2)>1+\frac 3 7 -\frac 6 {49}= 1+\frac {15}{49}>1+\frac {15}{50}=1.3$

显然成立。

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