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[不等式] 证明$a+\dfrac1a+b+\dfrac1b+\dfrac1{ab}>\dfrac92$

已知$a>0$,$b>0$,证明:$a+\dfrac1a+b+\dfrac1b+\dfrac1{ab}>\dfrac92$
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妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!

两边+1分解即
\[(a+b+1)\left(\frac1{ab}+1\right)>\frac{11}2,\]
只需证
\[(2t+1)\left(\frac1{t^2}+1\right)>\frac{11}2,\]
其中 $t=\sqrt{ab}$,去分母整理为
\[4t(t-1)^2-t^2+2>0,\]
当 $t^2\leqslant2$ 时显然成立;当 $t^2>2$ 时
\[\LHS>4t(t-1)\bigl(\sqrt2-1\bigr)-t^2+2
>1.5t(t-1)-t^2+2=0.5t^2+2-1.5t\geqslant2t-1.5t>0,\]
即得证。

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回复 2# kuing

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回复 3# 其妙

你这题得继续改呀,k随便放放就解决了,太宽了。(随便一说咯,k早已是“出神入化”了)

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回复 4# isee
就是比较宽,所以你可以试一试,

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