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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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» 利用巧方法解决函数最值
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发表于 2013-10-25 20:47
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[函数]
利用巧方法解决函数最值
$f(x)=(1-\sqrt x)^4+x^2$
$f(x)=(1-\sqrt[3]{x^2})^3+x^2$
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kuing
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发表于 2013-10-25 22:51
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第一个
\[\frac{\bigl(1-\sqrt x\bigr)^4+\bigl(\sqrt x\bigr)^4}2\geqslant\left( \frac{1-\sqrt x+\sqrt x}2 \right)^4;\]
第二个展开换元变成二次函数。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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其妙
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发表于 2013-10-25 23:12
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kuing
我刚刚准备发帖,你就给了相似的做法!
第一个:除了kuing的做法外,还可以连续两次柯西,
$f(x)=(1-\sqrt x)^4+x^2\geqslant\dfrac{1}2[(1-\sqrt x)^2+x]^2\geqslant\dfrac18$,
这里再次用了柯西:$(1-\sqrt x)^2+x\geqslant\dfrac12[(1-\sqrt x)+\sqrt x]^2=\dfrac12$。
第二个:$f(x)=(1-\sqrt[3]{x^2})^3+x^2=\dfrac{(1-\sqrt[3]{x^2})^3}{1^2}+\dfrac{(\sqrt[3]{x^2})^3}{1^2}\geqslant\dfrac{(1-\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x^2})^3}{(1+1)^2}=\dfrac14$
妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!
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kuing
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发表于 2013-10-25 23:17
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其妙
第二个奇数次,不对实数成立,所以我没用这招。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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其妙
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发表于 2013-10-25 23:24
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kuing
哦,我求的是$0\leqslant x<1$的最值了!
不过那是偶函数,实际求的是$-1<x<1$的最值是$\dfrac14$了。
下面再证明当$|x|\geqslant1$时,$f(x)>\dfrac14$,可行不?
妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!
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