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[几何] 向量两题,关于外心,内心

本帖最后由 realnumber 于 2018-3-7 17:02 编辑

2017湖州衢州丽水三市高三4月联考
已知O是三角形ABC的外心,∠C=$\frac{\pi}{4}$,若$\vv{OC}=m\vv{OA}+n\vv{OB},(m,n\in R)$,则m+n的取值范围是:
A [$-\sqrt{2},\sqrt{2}$]  
B[$-\sqrt{2},1$)
C[$-\sqrt{2},-1$)
D($1,\sqrt{2}$]

RtΔABC中,AB=3,AC=4,BC=5,I是ΔABC的内心,P是ΔIBC内部(不含边界)的动点,
若$\vv{AP}=λ\vv{AB}+μ\vv{AC} (λ,μ\in R)$,则λ+μ的取值范围是
A($\frac{7}{12},1$)B($\frac{1}{3},1$)C($\frac{1}{4},\frac{7}{12}$)D($\frac{1}{4},1$)





BA
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再来2题:
O是三角形ABC外心,AB=2,AC=1,∠BAC=120°,若$\vv{AO}=m\vv{AB}+n\vv{AC}$,则m-n=_____.


ΔABC中,∠B=60°,O为外心,又$\vv{OP}=\vv{OA}+\vv{OB}+\vv{OC}$,且$\vv{BP}·\vv{BC}=8$,则AC边上的高h最大值为_____.






-0.5,$2\sqrt{3}$

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外心的


二楼的第一个(含顶楼第一个),外心的,与楼主发的  (2013宁波第一学期期末理科17)O为外心,又:收集类似向量问 实质相同

内心外心利用结论(链接中的2楼) http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=4973
类似的题(除了利用结论,还有坐标法) 来自人教群的三角形外心向量系数和最大值  来自减压群的外心向量系数最值

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1楼第一个分别和$\vv{OA},\vv{OB}$数量积下,可以得m=cos2B,n=cos2A后面略

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本帖最后由 isee 于 2018-3-11 11:11 编辑

回复 1# realnumber

RtΔABC中,AB=3,AC=4,BC=5,I是ΔABC的内心,P是ΔIBC内部(不含边界)的动点,……

这个,由于是选择题,最大值(上界)容易,P在BC上时,最小值(下界)猜P与I重合时。

如果要严格写,考虑到直角三角形,直接以点A为原点,两直边有坐标系建系硬算好了。

===
11号更新

建系仅是随口一说,细想了下,实际不必,向量的定比分点公式的几何意义即知:P在AC边上最大,P在I时最小。

可写一个比较难看的过程:

过点$P$作$l$平行于$BC$交$AB$,$AC$分别相交于点$E$,$F$两点,则有
$$\vv{AP}=m\vv{AE}+n\vv{AF}=\frac {m\cdot AE}{AB}\vv{AB}+\frac {n\cdot AF}{AC}\vv{AC}=km\vv{AB}+kn\vv{AC},.$$
其中$$k=\frac {AE}{AB}=\frac {AF}{AC}.$$
于是
$$\lambda+\mu=k(m+n)=k.$$
下略。

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本帖最后由 isee 于 2018-3-8 18:17 编辑

回复 2# realnumber


$O$为外心$\vv{OP}=\vv{OA}+\vv{OB}+\vv{OC}$,由向量中的著名欧拉定理,知P就是垂心。直觉正三边形时高取最大,还未验证(证明)。

粗略看了下(P在三角形内时),求AC边上高最大,即求BP最小,而BP是点O到AC边的距离的2倍,变成求O到AC最小,而B是定值,变为求三角形外接圆半径最小。
不过,而条件的内积等价于$\vv{BA}\cdot\vv{BC}=8$,似乎可以转化为半径来解,不过,太绕了,不好。哈哈。。

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本帖最后由 isee 于 2018-3-9 11:12 编辑

回复 6# isee


题:$\triangle ABC$中,$\angle B=60^\circ$,$O$为外心, 又$\vv{OP}=\vv{OA}+\vv{OB}+\vv{OC}$,且$\vv{BP}·\vv{BC}=8$,则$AC$边上的高$h$最大值为_____.

解:由$\vv{OP}=\vv{OA}+\vv{OB}+\vv{OC}$知,点$P$为$\triangle ABC$垂心,于是$\vv{BP}·\vv{BC}=8$等价于$c\cos B\cdot a =8$.

又$\angle B=60^\circ$,于是$$ac=16,S_{\triangle ABC}=4\sqrt 3,h_b=\frac {2S_{\triangle ABC}}{b}.$$

而$$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B=a^2+c^2-ac\geqslant ac=16\Rightarrow b\geqslant 4.$$

从而$$h_b=\frac {2S_{\triangle ABC}}{b}\leqslant \frac {2S_{\triangle ABC}}{4}=2\sqrt 3.$$

此时$\triangle ABC$为正三角形.





其次,如果对向量中的著名的欧拉定理闻所未闻,则由$\vv{OP}=\vv{OA}+\vv{OB}+\vv{OC}$知$\vv{AP}=\vv{OB}+\vv{OC}$.
则$$\vv{AP} \cdot \vv{BC}=\left(\vv{OB}+\vv{OC}\right)\cdot \vv{BC}=-\frac {b^2}2+\frac {b^2}2=0.$$
即$$AP\perp BC.$$
至此$$\vv{BP}·\vv{BC}\iff \vv{BA}·\vv{BC}.$$
同理可知$$BP\perp AC.$$
这表明点$P$是$\triangle ABC$垂心.

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本帖最后由 isee 于 2018-3-11 11:20 编辑

回复 5# isee

5#续

现在问题是下界如何确定。

延长$AI$交$BC$于$I'$,由三角形内角平分线定理,则下界
$$k=\frac{AI}{AI'}=\frac{c}{c+BI'}.$$
而$$\frac{BI'}{a}=\frac{c}{c+b}=\frac{c+BI'}{a+b+c}.$$
后面就容易了。

更详细的 zhcosin 在其学习笔记 几何分册 是有具体过程,本论坛也有,我找找。

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本帖最后由 isee 于 2018-3-11 11:31 编辑

回复 8# isee

找到了 向量(如何推出垂心的结论)

==
哈哈,从一般情况开始写的,估计也不是你们想要的

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回复 9# isee


找到纯几何证明了。
数学通迅 2014年郑金

关于共点向量分割三角形面积的四个结论.pdf (152.22 KB)

数学通迅 2014年郑金

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