[几何] 共焦点，共准线的椭圆与抛物线的两个性质求证

1^# 跳转到 » 正序看帖

打印

字体大小: tT

发表于 2018-3-6 17:16 | 只看该作者

[几何] 共焦点，共准线的椭圆与抛物线的两个性质求证

设椭圆和抛物线的公共焦点为F，对应的公共准线为f，过抛物线上一点A作椭圆的两条切线，切点分别为M，N，那么
（1）FA平分$\angle MFN$，
（2）$\angle MFN$为定值。
(不知表述清楚了没

)
试图用解析法去求解，运算量太大，搞不掂，而且总觉得能用上平几。？

分享到: QQ空间 腾讯微博 腾讯朋友

amoy1

26^#

发表于 2019-2-9 20:36 | 只看该作者

回复 1# lemondian

我家老书里有（封面没了，呒知原作者系谁人，姑且引用一下）
捕获1.PNG

其他圆锥曲线中亦然（圆焦点重合，抛物线一焦点在无穷远处）

25^#

发表于 2018-11-6 15:44 | 只看该作者

回复 6# kuing
闲来无事，又翻出这个帖子：
@kuing:我还是不会极坐标在某点处的切线方程是如何得出来的？
能不能费心写一个呢？Please...

24^#

发表于 2018-4-27 19:28 | 只看该作者

回复 22# kuing

想学习其证明，今天找到这个，验证了。
要不K神有空，写一下你的严格证明呗，让我这等小白学习。

isee

23^#

发表于 2018-4-27 18:39 | 只看该作者

我也是仅能验证，想不到，楼主估计看不明白的。

楼主按照21#的意思，直接求圆锥曲线上的任一点方程即可。

22^#

发表于 2018-4-27 18:20 | 只看该作者

回复 21# lemondian

这是一般式，我以前也推过，还用了两种方法。
但是对于圆锥曲线来说不需要用它，其实简证我在6#已经说了啊。

21^#

发表于 2018-4-27 17:43 | 只看该作者

回复 20# lemondian
用这个可以得到“K神”的切线结论，还是觉得麻烦了此，是不是还有更简单的方法呢？
QQ截图20180427174026.jpg

20^#

发表于 2018-4-27 09:12 | 只看该作者

回复 6# kuing

6#的引理，我无法写出您一样的切线方程？
请问是如何证的？求帮助！

19^#

发表于 2018-3-11 18:39 | 只看该作者

问题(1)对于三种圆锥曲线终于证出来了！
谢谢各位帮助！

只是抛物线，双曲线切于同一支时，我不会用软件作图。
各位能不能画一个图形放出来呀？

18^#

发表于 2018-3-10 18:22 | 只看该作者

@kuing

17^#

发表于 2018-3-10 08:36 | 只看该作者

回复 lemondian

注意 6# 的证明中对 $e$ 没有限制，因此无论是抛物线还是双曲线，都会有 $\theta=\theta ...
kuing 发表于 2018-3-10 00:47

哗，这图画得真好！

看得可清楚了，请问用什么作图软件？
再画一个双曲线，切点在同一支上的情况吧。
能不能用几何法来证双曲线情形中的平分角（或平分外角）呢？我图画不好，也证不来。

求助。。。

16^#

发表于 2018-3-10 00:47 | 只看该作者

回复 15# lemondian

注意 6# 的证明中对 $e$ 没有限制，因此无论是抛物线还是双曲线，都会有 $\theta=\theta_0+\alpha/2$，但回到几何意义上，在双曲线里，由于 $\rho$ 有可能为负，因此不一定是平分角，而有可能是平分外角，比如这样：
捕获.PNG

15^#

发表于 2018-3-9 23:42 | 只看该作者

1楼中第一个问题:抛物线外点A,作抛物线的两条切线，切点为M,N，且抛物线焦点为F.那么FA平分MFN.
这个结论用光学性质，我证了。

不知，双曲线是否有同样结论？如何证明？

14^#

发表于 2018-3-7 18:38 | 只看该作者

回复 4# kuing

证明问题（1）：我是这样证的。

由椭圆的光学性质，可否直接得全等？画红线部分要不要证明一下？

13^#

发表于 2018-3-7 17:49 | 只看该作者

为了搞明白kuing写的东西，恶补了一下圆锥曲线的极坐标方程（好久不用了）

。真是牛人呀！

12^#

发表于 2018-3-7 15:18 | 只看该作者

回复 11# kuing
哈，我整错了！

”不写“--->真直接

11^#

发表于 2018-3-7 13:21 | 只看该作者

回复 10# lemondian

1.用一下两倍角公式不就一样了吗？

2.不写

10^#

发表于 2018-3-7 08:49 | 只看该作者

回复 7# kuing

1.有人也对第（2）问题作了研究：他用解析法（极烦）得到$cos\angle MFN=2e^2-1$，与你的不同？
2.引理的严格证明能不能写写？

9^#

发表于 2018-3-7 08:24 | 只看该作者

回复 8# lemondian

晚上灵感比较好，习惯了

继续睡鸟……

8^#

发表于 2018-3-7 08:14 | 只看该作者

谢谢各位：
先消化，体会一下，再讨教！
@kuing，凌晨三点还在写题，真心佩服，注意休息呀