免費論壇 繁體 | 簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
分享
返回列表 发帖

[几何] 共焦点,共准线的椭圆与抛物线的两个性质求证

设椭圆和抛物线的公共焦点为F,对应的公共准线为f,过抛物线上一点A作椭圆的两条切线,切点分别为M,N,那么
(1)FA平分$\angle MFN$,
(2)$\angle MFN$为定值。
(不知表述清楚了没 )
试图用解析法去求解,运算量太大,搞不掂,而且总觉得能用上平几。?
分享到: QQ空间QQ空间 腾讯微博腾讯微博 腾讯朋友腾讯朋友

回复 1# lemondian


    参考一般情况 撸题集 P517 题目 4.7.21  中的 注 部分

TOP

回复 2# isee


    现在在外,无法看到你说的,能否截个图上来呢?麻烦你了。

TOP

回复 2# isee

那里也只是有第(1)问

回复 3# lemondian

看图 4.7.23,利用椭圆的光学性质证明蓝色和绿色的三角形全等。
QQ截图20180306214513.png
2018-3-6 21:45


第(2)问还有待研究。
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

TOP

回复 4# kuing

没注意还有一问

TOP

对于第(2)问,我觉得研究它的逆命题更好,而纵观整个问题,很明显采用极坐标来玩会更好玩。

先给出如下引理:

在极坐标下,设圆锥曲线 $\Gamma$ 的方程为
\[\rho=\frac{ep}{1-e\cos\theta},\]
则其上的点 $P\bigl(\theta_0,\rho(\theta_0)\bigr)$ 处的切线方程为
\[\rho=\frac{ep}{\cos(\theta_0-\theta)-e\cos\theta}.\]

这个引理的严格证明我就不写了,因为其实很容易看出它是成立的,首先容易知道后者是一条直线,其次两者联立时显然只有 $\theta=\theta_0$ 这一解。

下面研究:如上所述的 $\Gamma$ 上有两个动点 $P_1\bigl(\theta_0,\rho(\theta_0)\bigr)$, $P_2\bigl(\theta_0+\alpha,\rho(\theta_0+\alpha)\bigr)$,其中 $\alpha$ 为 $(0,\pi)$ 内的定值,设 $P_1$, $P_2$ 两处的切线的交点为 $P$,求 $P$ 的轨迹方程。

根据引理,$P_1$, $P_2$ 两处的切线方程分别为
\begin{align*}
\rho&=\frac{ep}{\cos(\theta_0-\theta)-e\cos\theta},\\
\rho&=\frac{ep}{\cos(\theta_0+\alpha-\theta)-e\cos\theta},
\end{align*}
联立它们,得
\[\cos(\theta_0-\theta)=\cos(\theta_0+\alpha-\theta)
\iff\theta_0-\theta=-(\theta_0+\alpha-\theta)
\iff\theta=\theta_0+\frac\alpha2,\]
(这也相当于解决了第(1)问)代回去即得 $P$ 的轨迹方程为
\[\rho=\frac{ep}{\cos(\alpha/2)-e\cos\theta},\]
若记
\[e'=\frac e{\cos(\alpha/2)},\]
那么轨迹即为
\[\rho=\frac{e'p}{1-e'\cos\theta},\]
这说明 $P$ 的轨迹必然是与 $\Gamma$ 共焦点、共准线的圆锥曲线,而且离心率比 $\Gamma$ 的要大。

特别地,当 $\Gamma$ 为椭圆且定值 $\alpha$ 满足 $\cos(\alpha/2)=e$ 时,$P$ 的轨迹就是抛物线,因此,反过来,对于1楼的原题目,那个角自然就是定值,而且其值为 $2\arccos e$。
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

TOP

回复 6# kuing

验证一下最后的“特别地”:
QQ截图20180307031742.png
2018-3-7 03:18
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

TOP

谢谢各位:
先消化,体会一下,再讨教!
@kuing,凌晨三点还在写题,真心佩服,注意休息呀

TOP

回复 8# lemondian

晚上灵感比较好,习惯了

继续睡鸟……

TOP

回复 7# kuing

1.有人也对第(2)问题作了研究:他用解析法(极烦)得到$cos\angle MFN=2e^2-1$,与你的不同?
2.引理的严格证明能不能写写?

TOP

回复 10# lemondian

1.用一下两倍角公式不就一样了吗?
2.不写

TOP

回复 11# kuing
哈,我整错了!
”不写“--->真直接

TOP

为了搞明白kuing写的东西,恶补了一下圆锥曲线的极坐标方程(好久不用了)。真是牛人呀!

TOP

回复 4# kuing


    证明问题(1):我是这样证的。
91.jpg
2018-3-7 18:35

由椭圆的光学性质,可否直接得全等?画红线部分要不要证明一下?

TOP

1楼中第一个问题:抛物线外点A,作抛物线的两条切线,切点为M,N,且抛物线焦点为F.那么FA平分MFN.
这个结论用光学性质,我证了。

不知,双曲线是否有同样结论?如何证明?

TOP

回复 15# lemondian

注意 6# 的证明中对 $e$ 没有限制,因此无论是抛物线还是双曲线,都会有 $\theta=\theta_0+\alpha/2$,但回到几何意义上,在双曲线里,由于 $\rho$ 有可能为负,因此不一定是平分角,而有可能是平分角,比如这样:
捕获.PNG
2018-3-10 01:02

TOP

回复  lemondian

注意 6# 的证明中对 $e$ 没有限制,因此无论是抛物线还是双曲线,都会有 $\theta=\theta ...
kuing 发表于 2018-3-10 00:47


哗,这图画得真好!看得可清楚了,请问用什么作图软件?
再画一个双曲线,切点在同一支上的情况吧。
能不能用几何法来证双曲线情形中的平分角(或平分外角)呢?我图画不好,也证不来。求助。。。

TOP

@kuing

TOP

问题(1)对于三种圆锥曲线终于证出来了!
谢谢各位帮助!
只是抛物线,双曲线切于同一支时,我不会用软件作图。
各位能不能画一个图形放出来呀?

TOP

回复 6# kuing

6#的引理,我无法写出您一样的切线方程?
请问是如何证的?求帮助!

TOP

返回列表 回复 发帖