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[不等式] 二元条件最值

本帖最后由 aaa 于 2018-3-5 20:08 编辑

已知 $a>1,b>2$,则 $\dfrac{(a+b)^2}{\sqrt{a^2-1}+\sqrt{b^2-4}}$ 的最小值,应该如何做呢?
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还可考虑用切线法做

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设$ x=\sqrt{a^2-1},y=\sqrt{a^2-4} $

$ \geqslant \frac{(x+1+y+2)^2}{2(x+y)}=\frac{(x+y+3)^2}{2(x+y)}=\frac{(x+y)^2+6(x+y)+9}{2(x+y)}=\frac{x+y}{2} +\frac{9}{2(x+y)}+3\geqslant 2\sqrt{\frac{9}{4}}+3=6$

等号成立,x=1,y=3,即:$ a=\sqrt{2},b=2\sqrt{2}
$

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回复 4# kuing


    谢谢,会了

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回复 3# aaa

换个元,变成求
\[\frac {\bigl( \sqrt {x^2+1}+\sqrt {y^2+4} \bigr)^2}{x+y}\]
的最小值,这样看,你就会了吧?

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回复 2# 其妙


    请问怎么用柯西?谢谢

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回复 1# aaa
先柯西不等式,再均值不等式

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