免費論壇 繁體 | 簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
分享
返回列表 发帖

Terrible Magic Mirror

已知一圆柱高为H,底面半径为R,若上底面以一直径所在直线为旋转轴旋转90°所得一几何体,该几何体被称为“可怕魔镜”。你能求出它的体积吗?
Given a circular column height is H,and radius of the bottom surface is R, if the bottom surface with a diameter of the line as the rotation axis to rotate 90 degrees from the geometry, the geometry is known as " terrible magic mirror ". You can find the volume of it?
图片2.jpg
2013-10-25 20:39
图片1.jpg
2013-10-25 20:39
分享到: QQ空间QQ空间 腾讯微博腾讯微博 腾讯朋友腾讯朋友

本帖最后由 战巡 于 2013-10-31 17:20 编辑

回复 1# 青青子衿


这个挺有意思的
不过那个图太坑了,不应该画成椭圆的.........

设圆柱上底面方程为$x=R\cos(\theta),y=R\sin(\theta),z=H$
如果沿着$y$轴旋转$90\du$,方程变为$x=R\cos(\theta),y=0,z=H-R\sin(\theta)$
原来那个圆柱上面,上底面上点$(R\cos(\theta),R\sin(\theta),H)$对应的下底面点为$(R\cos(\theta),R\sin(\theta),0)$,旋转以后这这两点的连线也跟着转
于是旋转后两点连线的方程为:
\[x=R\cos(\theta),\frac{y-R\sin(\theta)}{R\sin(\theta)}=-\frac{z}{H-R\sin(\theta)}\]
带入$x$可得围成这个东西的那个曲面方程,当然,有两部分组成
第一部分:
\[z=(1-\frac{y}{\sqrt{R^2-x^2}})(H-\sqrt{R^2-x^2})\]
另一部分:
\[z=(1+\frac{y}{\sqrt{R^2-x^2}})(H+\sqrt{R^2-x^2})\]
由于这个东西没有顶,顶部那块都变成垂直的了,计算体积可以忽略,所以其实计算由这两个东西加上底面围成的就行了

剩下的部分错了~推倒重来...在5楼...

TOP

回复 2# 战巡

大概看懂了一些,计算得慢慢看……
PS、\int\int 可以合成为 \iint

TOP

没看懂。难道不是妥妥地体积减小么。

魔镜侧视图

1.jpg
2013-10-31 16:16

TOP

本帖最后由 战巡 于 2013-10-31 17:18 编辑

回复 4# icesheep

嗯........我刚算出来也觉得奇怪,但当时还有别的事就没细想了...
重新算了一下,而且用MMC画了图,前面那两块曲面的方程是没问题的,问题出在后面算体积的积分上了

重新算一次..
第一块:
\[\iint zdxdy=\int_{-R}^Rdx\int_0^{\sqrt{R^2-x^2}}(1-\frac{y}{\sqrt{R^2-x^2}})(H-\sqrt{R^2-x^2})dy\]
\[=\int_{-R}^R[\frac{x^2-R^2}{2}+\frac{H\sqrt{R^2-x^2}}{2}]dx\]
\[=\frac{H\pi R^2}{4}-\frac{2R^3}{3}\]
第二块:
\[\iint zdxdy=\int_{-R}^Rdx\int_{-\sqrt{R^2-x^2}}^{0}(1+\frac{y}{\sqrt{R^2-x^2}})(H+\sqrt{R^2-x^2})dy\]
\[=\int_{-R}^R[\frac{R^2-x^2}{2}+\frac{H\sqrt{R^2-x^2}}{2}]dx\]
\[=\frac{H\pi R^2}{4}+\frac{2R^3}{3}\]
两式相加得到
\[V=\frac{H\pi R^2}{4}-\frac{2R^3}{3}+\frac{H\pi R^2}{4}+\frac{2R^3}{3}=\frac{H\pi R^2}{2}\]
为原来的一半...这样看起来还比较合理...

TOP

返回列表 回复 发帖