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[几何] 来自人教群的求折痕最短(违背直觉的最小)

本帖最后由 isee 于 2018-3-9 12:21 编辑

@粤B学生86鱼

容易猜到结果,如何求似乎是高中题了。

文字:直角三角形ABC中,角B为直角,AB>BC,如图,将角A的顶点A折叠到BC边上,若两直角边长分别为3,4,求折痕EF最小值。
zh.png
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442.25.gif
2018-3-1 17:42

QQ截图20180301163040.png
2018-3-1 17:16

不妨设\(\angle DAE=\theta\),则\(\angle DAF=\arctan\left(\dfrac{3}{4}\right)-\theta\),故
\[\tan\angle DAE=\tan\angle DAG=\frac{DE}{AD}=\frac{DG}{AG}\Longrightarrow\tan\theta=\dfrac{p}{\sqrt{x^2+4}}=\dfrac{x}{2}\]
\[\tan\angle DAF=\frac{DF}{AD}\Longrightarrow\tan\left[\arctan\left(\dfrac{3}{4}\right)-\theta\right]=\dfrac{q}{\sqrt{x^2+4}}\\\frac{\tan\left(\arctan\dfrac{3}{4}\right)-\tan\theta}{1+\tan\left(\arctan\dfrac{3}{4}\right)\tan\theta}=\dfrac{q}{\sqrt{x^2+4}}\Longrightarrow\dfrac{q}{\sqrt{x^2+4}}=\frac{\dfrac{3}{4}-\dfrac{x}{2}}{1+\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{x}{2}}=\frac{6-4x}{8+3x}\]
从而得到:\[\begin{cases}
\dfrac{p}{\sqrt{x^2+4}}=\dfrac{x}{2}\\
\dfrac{q}{\sqrt{x^2+4}}=\dfrac{6-4x}{8+3x}
\end{cases}\Longrightarrow
\begin{cases}
p=\dfrac{x}{2}\sqrt{x^2+4}\\
q=\left(\dfrac{6-4x}{8+3x}\right)\sqrt{x^2+4}
\end{cases}\]
\[|EF|=|DE|+|DF|=p+q=\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{6-4x}{8+3x}\right)\sqrt{x^2+4}=\left[\dfrac{x}{2}+\dfrac{50}{3(3x+8)}-\dfrac{4}{3}\right]\sqrt{x^2+4}
\]

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回复 2# 青青子衿


    这么说不是A'与B重合的时候了?

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来玩玩速度分解。

首先易知直线 $EF$ 恒与以 $A$ 为焦点 $BC$ 为准线的抛物线相切(见《撸题集》第 50 页题目 1.2.3),设切点为 $P$,作 $AH\perp EF$ 于 $H$,现在让 $P$ 沿抛物线向右运动,则直线 $EF$ 存在绕 $P$ 逆时针转动的角速度,然后作出 $E$, $F$ 的速度及其分解,如下图所示。

捕获.PNG
2018-3-1 16:59


那么,当 $EF$ 取最小值时,必然是当 $v_{Ex}=v_{Fx}$ 时,而
\[\frac {v_{Ex}}{v_{Fx}}=\frac {v_{Ey}\cot \angle AEF}{v_{Fy}\cot \angle AFE}=\frac {PE\cot \angle AEF}{PF\cot \angle AFE}=\frac {PE}{PF}\cdot \frac {HE}{HF},\]
可见
\[v_{Ex}=v_{Fx}\iff\frac {PE}{PF}=\frac {HF}{HE}\iff EH=PF,\]
由 $H$ 为 $AA'$ 中点且 $PA'\perp BC$ 可知 $EH=HP$,所以
\[v_{Ex}=v_{Fx}\iff EH=HP=PF,\]
也就是说取最小值时 $H$, $P$ 是 $EF$ 的三等分点。

不过似乎对计算并没什么帮助……
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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本帖最后由 青青子衿 于 2018-3-1 17:55 编辑

回复 3# isee
回复  青青子衿
    这么说不是A'与B重合的时候了?
isee 发表于 2018-3-1 16:28

当\(|DG|=\sqrt{6}-2\)时,折痕\(EF\)的长度取最小值\({\color{red}{|EF|=12\sqrt{2}-9\sqrt{3}}}\)

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回复 5# 青青子衿

捕获2.PNG
2018-3-1 23:17

这结果符合我那结论,应该是对的
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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本帖最后由 isee 于 2018-3-1 22:24 编辑
来玩玩速度分解。

首先易知直线 $EF$ 恒与以 $A$ 为焦点 $BC$ 为准线的抛物线相切(见《撸题集》第 50 页 ...
kuing 发表于 2018-3-1 17:01


这种题,速度分解还真强。不知等价的数学方法如何。

====
“不过似乎对计算并没什么帮助……”

原来,还没搞完啊。。。。。

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回复 7# isee

更新了一下,下午竟然没想起还有 $EH=HP$,也就是取最小值时那两个是三等分点,结论就更好看了,可惜于计算还是没什么卵用。

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回复 8# kuing

噢,其实还是有点用的。

一般地,设 $\angle BAC=\alpha$, $\angle BAA'=\theta$,则
\[\frac{HE}{HF}=\frac{\tan\theta}{\tan(\alpha-\theta)},\]
根据 4# 的结论,取最小值时有
\[2EH=HF\iff2\tan\theta=\tan(\alpha-\theta)
=\frac{\tan\alpha-\tan\theta}{1+\tan\alpha\tan\theta},\]
解之得
\[\tan\theta=\frac{-3+\sqrt{8\tan^2\alpha+9}}{4\tan\alpha}.\]

对于原题,$\tan\alpha=3/4$,代入得到
\[\tan\theta=-1+\sqrt{\frac32},\]
那么
\[EF=3EH=3AH\tan\theta=\frac{3AB\tan\theta}{2\cos\theta}=\frac32AB\tan\theta\sqrt{\tan^2\theta+1},\]
将 $AB=4$ 及 $\tan\theta$ 的值代入化简后就是 $EF=12\sqrt2-9\sqrt3$。
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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话说最后的数据化简本来是有重根号的,恰好能化简开来,不知是运气好还是楼主的数据是设计过的?

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回复 2# 青青子衿

原后求导?

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来玩玩速度分解。

首先易知直线 $EF$ 恒与以 $A$ 为焦点 $BC$ 为准线的抛物线相切(见《撸题集》第 50 页 ...
kuing 发表于 2018-3-1 17:01

匀速圆周运动中$v=r\omega$已然忘记了。

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回复  kuing

噢,其实还是有点用的。

一般地,设 $\angle BAC=\alpha$, $\angle BAA'=\theta$,则
\[\fr ...
kuing 发表于 2018-3-1 23:40


这个求解过程,与 2# 青青子衿 本质上说是相同的,不过,三等分点将我不知道2#如何求出最小值的却给破了。

不过,对4#中 取最小时,两分速相等有些不理解,物理真是忘记完了。

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这里也有一道折痕题目的最小值(不过太简单了)
1blog图片.png
2018-3-12 18:19
妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!

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