[几何] 有没有几何的解释?

realnumber

$x^2-y^2=1$右支上有两点A,C,O为坐标原点，求$\vv{OA}·\vv{OC}$的最小值.

设坐标用不等式，或解几方法都可以，有没有几何的解释?（双曲线换成xy=2也可.）

战巡

记得老早以前讲过这个题，用的参数方程，重新翻出来吧

双曲线换双曲参数方程，既是右支，$x>0$，令$x=\cosh(t), y=\sinh(t)$
\[OA·OC=\cosh(t_A)\cosh(t_C)+\sinh(t_A)\sinh(t_C)=\cosh(t_A+t_C)\ge 1\]

kuing

回复 2# 战巡

双曲党牛比
看了之后确实印象中以前见过你写这个，不过在论坛上没搜到，可能是旧版论坛时，甚至是人教时……

PS、漏了箭头

kuing

要扯点几何其实还是阔以嘀……

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2018-3-1 01:07

先把双曲线旋转为 $xy=m$（$m>0$），如图，固定 $A$，则要 $\vv{OA}\cdot\vv{OC}$ 最小，就需要 $OC$ 在 $OA$ 上的投影 $OD$ 最短，因此必然是当 $CD$ 与双曲线相切时。

而由双曲线切线的性质知 $C$ 为 $EF$ 中点，得 $CO=CF$，所以 $\angle AOE=\angle CFO=\angle COF$，可见取最小值时 $OA$ 与 $OC$ 必关于 $y=x$ 对称，此时设 $A(x,y)$，则 $C(y,x)$，那么 $\vv{OA}\cdot\vv{OC}=2xy=2m$，所以这就是所求的最小值，而且只要是对称就取等。

战巡

回复 3# kuing

应该是在人教吧，憋间好像也讲过

那个箭头太难打，懒...

kuing

回复 9# 战巡

啊哦！忘了还有憋间，瞬间想起来了，就在第二期你讲双曲函数的应用里面……

箭头用我给的自定义代码 \vv{OA} 就好了啊

游客

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2018-3-1 09:40

isee

我还是从代数上算一个.

记$A(a,b),C(c,d),m=\vv{OA}\cdot\vv{OC},x^2-y^2=1$，当初说强算是指的这个方向
$$m^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)\frac 1{\tan^2\alpha+1},$$
其中$$\tan\alpha=\abs{\frac {b/a-d/c}{1+bd/ac}}.$$
这样就真是强算了.
代入化简后同下面的坐标运算.

换个方向，用向量坐标运算
$$m^2=(ac+bd)^2\geqslant (a^2-b^2)(c^2-(-d)^2)=1.$$
取“=”号时，$$a(-d)-bc=0\Rightarrow \frac ba=-\frac dc.$$

游客

回复 4# kuing

因为曲线是关于Y=X对称的，那么要同时满足那两个垂直关系的话，能不能说“显然”A、C也是关于Y=X对称？

kuing

回复 9# 游客

感觉上是那样，但我也不敢直接说“显然”

realnumber

$x^2-y^2=1$上点(a,b),(c,d),$\vv{OA}·\vv{OB}=ac+bd$,bd<0
\[\sqrt{b^2+1}\sqrt{d^2+1}+bd=\sqrt{b^2d^2+b^2+d^2+1}+bd\ge \sqrt{(1-bd)^2}+bd=1\]
$xy=2$上点(s,2/s),(t,2/t),s>0,t>0,$\vv{OA}·\vv{OB}=st+1/(st)$

realnumber

改编下题目，解题方法类似$4y=x^2$上两点AB,C(0,-1),求$\vv{CA}·\vv{CB}$的最小值.

其妙

回复 11# realnumber
根号内不必展开，直接用柯西不等式即可

其妙

回复 8# isee
一个恒等式即可得到（即一个完全平方可以配成两个完全平方之和）