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连续曲线的割线斜率的介值性

本帖最后由 zhcosin 于 2018-2-28 17:43 编辑

这是北京大学2018年硕士入学考试试题:
题目: 设函数$f(x) \in C^{1}(0,1)$,
\[ \alpha = \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} < \beta = \frac{f(x_3)-f(x_4)}{x_3-x_4} \]
其中$x_1,x_2,x_3,x_4 \in (0,1)$,求证: 对每个 $\lambda \in (\alpha,\beta)$,存在$x_5,x_6 \in (0,1)$,使得
\[ \lambda = \frac{f(x_5)-f(x_6)}{x_5-x_6} \]

这题目有点意思,导函数具备介值性大家都知道,其证明需要用到微分中值定理,然而这题却来了个割线斜率的介值性,而且函数只是连续,并没有可导性,但是其实从直观上一想,又是显然的,思路也是超级简单。

证明: $\alpha,\beta$是两段割线的斜率,我们只要让其中一段割线连续的变动,直到跟另一段割线重合,这样就得到一个连续函数,从而根据连续函数的介值性解决问题。

以下为方便,将割线$(x_1,f(x_1)) \to (x_2,f(x_2))$简单的记为$L(x_1,x_2)$.

现在就来让割线$L(x_1,x_2)$连续的变动到$L(x_3,x_4)$,变动过程中,每次变动我们只移动割线的一个端点而保持另一个端点不动。下面以$x_1<x_2<x_3<x_4$为例,将割线$L(x_1,x_2)$的右端点在曲线上向右移动直到与$x_4$重合,即
\[ L(x_1,x_2) \to L(x_1,x_4) \]
然后再移动左端点直到与$x_3$重合,即
\[ L(x_1,x_4) \to L(x_3,x_4) \]
这样就将割线$L(x_1,x_2)$连续的变动到了$L(x_3,x_4)$,我们可以把这过程写出一个分段函数来,根据$f(x)$的连续性即知此分段函数的连续性,于是由其介值性就得结论。

要说明的是,这个端点移动方式有原则的,在一个端点移动过程中,不能跨过当前割线的另一个端点,否则就会出现需要对割线求极限即用导数值来定义该点函数值的问题,而原来的函数并没有可导的条件,比如说,在前面的情况中,你的割线变动方式就不能是
\[ L(x_1,x_2) \to L(x_3,x_2) \to L(x_3,x_4) \]
在前一段移动中,左端点越过$x_2$时,以及后一段移动中,右端点越过$x_3$时都面临上述情况。

可以验证,无论$x_1,x_2,x_3,x_4$大小情况如何,都存在相应的割线变动方式,因此结论得证。

最后,为了证明的完整性,我们把前面的分段函数明确写出来,第一段是由把割线$L(x_1,x_2)$的右端点从$x_2$移动到$x_4$,而从$x_2$到$x_4$的线性变化可由函数
\[ u(t) = (1-t)x_2+tx_4 \]
给出,于是这一段的移动过程就可以由函数
\[ h(t) = \frac{f(x_1)-f(u(t))}{x_1-u(t)} \]
给出,其中$0\leqslant t \leqslant 1$,第二段是将割线$L(x_1,x_4)$的左端点从$x_1$移动到$x_3$,这个线性变化由函数
\[ u(t)=(1-t)x_1+tx_3 \]
给出,但为了与第一段相衔接,这一段的参数变化由$(0,1)$平移为$(1,2)$,于是这一段的变化端点是
\[ u(t) =(2-t)x_1+(t-1)x_3 \]
而这段的斜率是
\[ h(t)=\frac{f(u(t))-f(x_4)}{u(t)-x_4} \]
其中$1 \leqslant t \leqslant 2$,这样就得出了分段函数$h(t)$,变量$t$在$[0,2]$内变化,并且$h(0)=\alpha,h(2)=\beta$,在$t=1$处两段正好衔接上,又因为$f(x)$是连续的,由复合函数的连续性即知$h(t)$在定义域上连续,从而具备介值性。

如果有强迫症,函数$h(t)$可以写为如下:
\[
h(t) =
\begin{cases}
\frac{f(x_1)-f((1-t)x_2+tx_4)}{x_1-((1-t)x_2+tx_4)} & 0 \leqslant t \leqslant 1 \\
\frac{f((2-t)x_1+(t-1)x_3)-f(x_4)}{((2-t)x_1+(t-1)x_3)-x_4} & 1 < t \leqslant 2
\end{cases}
\]

这过程要是有个动态图就完美了。
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数学暗恋者,程序员,喜欢古典文学/历史,个人主页: https://zhcosin.coding.me/

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