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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 转发一个经典轮换不等式
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wanhuihua
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发表于 2018-2-23 13:58
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[不等式]
转发一个经典轮换不等式
本帖最后由 wanhuihua 于 2018-2-23 22:51 编辑
$$
\eqalign{
& {\cal 设}x,y,z{\cal 为}{\cal 正}{\cal 数}{\cal ,}x \geqslant y \geqslant z \cr
& {\cal 求}{\cal 证}: \cr
& \frac{{x^2 y}}
{z} + \frac{{y^2 z}}
{x} + \frac{{z^2 x}}
{y} \geqslant x^2 + y^2 + z^2 \cr}
$$
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发表于 2018-2-23 14:00
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测试Latex OK!!!!
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色k
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发表于 2018-2-23 15:19
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代码建议手打,机器转的码不好
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走走看看
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发表于 2018-2-23 17:49
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本帖最后由 走走看看 于 2018-2-23 19:41 编辑
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wanhuihua
这道题像是用排序不等式证,但不知下面的证法是否正确。
$x≥y≥z$
$x^2≥y^2≥z^2$
$\frac{x}{x}≤ \frac{y}{y} ≤ \frac{z}{z} 反序$
$\frac{x}{z}≥ \frac{y}{y} ≥ \frac{z}{x} 正序$
$\frac{y}{z} 、\frac{z}{x}、 \frac{x}{y} 乱序$
$所以\frac{ x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}≥\frac{ x^2x}{x}+\frac{y^2y}{y}+\frac{z^2z}{z}=x^2+y^2+z^2$
看了撸题集,那里不是用 排序不等式。
如果用排序不等式,以上的证明是否正确呢?
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kuing
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发表于 2018-2-23 17:55
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见《撸题集》第 440 页题目 4.6.18
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发表于 2018-2-23 18:00
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2018-2-23 18:00
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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发表于 2018-2-23 18:44
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本帖最后由 wanhuihua 于 2018-2-23 19:34 编辑
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kuing
改了是好看点,技术要求高!关键是我的分式字母变小不好
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wanhuihua
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发表于 2018-2-23 22:28
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本帖最后由 wanhuihua 于 2018-2-23 22:42 编辑
$$
\eqalign{
& {\cal 设}x,y,z{\cal 为}{\cal 正}{\cal 数}{\cal ,}x \geqslant y \geqslant z \cr
& {\cal 求}{\cal 证}: \cr
& \frac{{x^2 y}}
{z} + \frac{{y^2 z}}
{x} + \frac{{z^2 x}}
{y} \geqslant x^2 + y^2 + z^2 \cr
& {\cal 证}{\cal 明}{\cal :} {\cal 记}x{\text{ = }}y + a,y = z + b \cr
& {\cal 上}{\cal 式} \Leftrightarrow \frac{{x^2 b}}
{z} + \frac{{z^2 a}}
{y} \geqslant \frac{{y^2 }}
{x}(a + b) \Leftrightarrow (\frac{{x^2 }}
{z} - \frac{{y^2 }}
{z} + \frac{{y^2 }}
{z} - \frac{{y^2 }}
{x})b \geqslant (\frac{{y^2 - z^2 }}
{x} + \frac{{z^2 }}
{x} - \frac{{z^2 }}
{y})a \cr
& \Leftrightarrow \frac{{ab}}
{z}(x + y) + y^2 b(\frac{{a + b}}
{{xz}}) \geqslant \frac{{ab}}
{x}(y + z) - \frac{{a^2 }}
{{xy}}z^2 ,{\cal 左}{\cal 边} \geqslant {\text{2}}ab,{\cal 右}{\cal 边} \leqslant 2ab,{\cal 显}{\cal 然}{\cal 。} \cr}
$$
这个格式还可以吧
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kuing
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发表于 2018-2-23 23:14
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wanhuihua
还是建议参考置顶帖来输入公式。
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