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[组合] 求助:小学五年级奥数48人班级问题

本帖最后由 realnumber 于 2018-2-22 13:41 编辑

有48名学生的一班级,其中27人会游泳,33人会骑车,40人会兵乓球,问三项都会的同学至少有几人?













48ren.GIF
2018-2-22 13:41

标答是4.理由没怎么明白,虽然也试着画Ven图
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本帖最后由 乌贼 于 2018-2-22 13:53 编辑

设三项都会的同学至少有n人有\[3n+2(48-n)\geqslant 27+33+40\]\[n\geqslant 4\]

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谢谢,虽然还是很不太明白。我是这样但想不下去
设未知数.JPG
2018-2-22 14:12

这样就得到以下混合组,以下字母都是自然数
$n+a+b+c+x+y+z\le 48$ , n+a+x+y=27,n+b+y+z=33,n+c+x+z=40

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余下的$48-n$人每人最多会2项

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不是组合题吧,这样改一下容易理解些:
    有48名幼儿园小朋友去园长那偷红、黄、篮三种颜色糖果,其中27人有红糖果,33人有黄糖果,40人有篮糖果,还没来得及吃就被老师没收了。问三种颜色糖果都拿的小朋友至少有几人?
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评分人数

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回复 4# 乌贼
恩,谢谢。我有些迟钝了,容我再考虑下,感觉你是对的

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小奥最难了,俺也只会3#的方法
\begin{align*}
27+33+40&=3n+2(x+y+z)+a+b+c\\
&\leqslant n+2(n+x+y+z+a+b+c)\\
&\leqslant n+2\cdot 48
\end{align*}

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乌贼有教小学数学的天份,连改题都改得这么生动俺是绝对想不出来的

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题目:有48名学生的一班级,其中27人会游泳,33人会骑车,40人会兵乓球,问三项都会的同学至少有几人?
老师告诉我们,至少至多问题宜用反证法(反面思考问题):
假设三项都会的同学至多有3人(我们把3项都会的称为全能王,即全能王至多有3人),那么非全能王至少有45人…………(*)
但是,我们知道有21人不会游泳,15人不会骑车,8人不会打乒乓球,于是最多会有21+15+8=44人一项或者2项都不会(即至多有44人非全能王),这与结论(*)矛盾(即44<45)。
你自然会问你怎么走起来就假设全能王至多有3人?以下是两种解释:
解释一:搞清楚上面这个套路以后(反面思考问题),下面设题目答案为n,假设三项都会的同学至多有n-1人(我们把3项都会的称为全能王,即全能王至多有n-1人),那么非全能王至少有49-n人…………(*)
但是,我们知道有21人不会游泳,15人不会骑车,8人不会打乒乓球,于是最多会有21+15+8=44人一项或者2项都不会(即至多有44人非全能王),为了与结论(*)矛盾,需要建立不等式44<49-n,于是n<5,故n的最大值为4,即:三项都会的同学至少有4人,然后再改用上面装逼的解法即可。
解释2:从小学的角度看,显然这样列式:48-(48-27)-(48-33)-(48-40)=4,但是解释起来,属于只可意会不好言传(如果用全能王和非全能王这两个个词汇理解要容易一些吧)

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字数太多,自动略过……

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本帖最后由 走走看看 于 2018-2-23 17:27 编辑

回复 9# 其妙

解释2,可以是:共计有21人不会游泳,15人不会骑车,8人不会打乒乓球,最坏情况,每个同学不会的项目不重复的话,最多会有44名同学会有一项不会,那么,至少有4人三项全会。
或者这样解释:有21人不会游泳,15人不会骑车,8人不会打乒乓球,至多有44人不是三项运动全会,即至少4人三项运动都会。

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本帖最后由 走走看看 于 2018-2-23 17:31 编辑

回复 11# 走走看看

解释3,全体人员中27、33、40会某一项内容,题目求至少多少人三项全能,27是人数最少的,所以用27减去另两项不会的。因为有15人不会骑车,8人不会乒乓球,所以27-15-8=4,最小值就出来啦!

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本题比较绕口的原因是没有设置好正面和反面。只要搞好正面和反面就好理解了。例如可用全能王和非全能王这两个词汇。
本题也改换一个说法:
某班有48名学生参加小学毕业考试,准备升入某民办初中,其中27人语文达到该校最低分数线,33人数学达到该校最低分数线,40人英语达到该校最低分数线,该校招生的标准是三科都达到最低分数线即可入读(不考虑总分上线),问该班的同学至少能考上某民办初中有几人?

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回复 13# 其妙
对于上述题目,显然有人21人语文未达到该校最低分数线,15人数学未达到该校最低分数线,8人英语未达到该校最低分数线,于是,最大可能就是21+15+8=44人落榜于该民办初中,那么至少就有48-44=4人能考上该民办初中。
这就是从反面考虑问题。
顺便说一下,该班48人全部参加了该民办初中的考试(是重点初中名校哟)

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回复 8# kuing


    确实

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回复 14# 其妙


确实这样好理解些。

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小学奥数中的容斥原理,用图形就可以解决

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本帖最后由 游客 于 2018-2-26 09:03 编辑

x+y-s<=m,m+z-s<=n,即:n>=x+y+z-2s.
27+33-48=12,12+40-48=4,
至少12人前2项都会,至少4人3项都会。

三项都会的人要从前两项都会的人当中去找。

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