abababa

回复 9# kuing
发网友的证明。原来这个叫陪位中线，和等角线有关联。

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2018-3-11 19:12

过$A$作$E'F' \sslash BC$，交点如图。
然后因为$\angle F' = \angle EDC = \angle EPD$，所以$DE \cdot DF' = DP \cdot DA$，同理$DP\cdot DA = DF\cdot DE'$，于是$E'F'$和$EF$互为逆平行线。
显然$PFDE$是调和四边形，因此$\frac{F'A}{DA} = \frac{EP}{ED} = \frac{FP}{FD} = \frac{E'A}{DA}$，即$DA$是$E'F'$中线。
于是$DM,DA$分别平分一组逆平行线，因此$DM,DA$互为等角线，即角相等。

abababa

回复 31# abababa

不过证明$DA$是中线，可以不用调和四边形：
$\angle F'=\angle DFE=\angle CED=\angle AEF'$，所以$AF'=AE$，同理$AE'=AF$，而$AE=AF$，所以$AE'=AF'$。

abababa

回复 32# abababa

发现点$P$也是多余的，因为$\angle F'=\angle EDC=\angle EFD$，自然就得到逆平行线了。这样只要用到一角被一组逆平行线所截的线段，被这角顶点所引的两条射线平分，则这两条射线关于这角互为等角线这个性质。