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回复 20# 乌贼

$AP\cdot AQ=AC^2=AB\cdot AD$ 不就得到 PQDB 共圆了吗?

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回复 21# kuing


    除了关注方向不一样,另外,这个射影写圆幂也是其弱点

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回复 10# 乌贼


    这个不就是阿氏圆吗

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本帖最后由 isee 于 2018-2-22 10:05 编辑

想查下8#说的 陪位中线 无果,但是翻到一样的题
agl.png

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回复 21# kuing
嗯,证复杂了。

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回复 23# Tesla35
知识点匮乏

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回复 24# isee
真有

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回复 21# kuing

回复 25# 乌贼


将前面的融合在一起,就本楼题,借助调和点列,这个无字证明我个人是很喜欢了。

题:如图所示,$\triangle ABC$分别在$B$,$C$两的点切线相交于$D$点。$E$为$BC$中点,连接$AD$,求证:$\angle BAE=\angle CAD$.
agl1.png

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本帖最后由 isee 于 2018-2-24 08:56 编辑

另附上 田廷彦 的证法,这种思路也比较有意思。


题:如图所示,$\triangle ABC$分别在$B$,$C$两的点切线相交于$D$点。$E$为$BC$中点,连接$AD$,求证:$\angle BAE=\angle CAD$.


agl2.png
2018-2-24 08:54



过$C$作$AB$的垂线,垂足为$P$,如图标记角$\alpha$,则$$\angle APE=\angle ACD=\pi-\alpha,$$

另一方面$$\frac{AP}{AC}=\cos BAC=\frac {EC}{DC}=\frac{PD}{DC},$$

于是$$\triangle APE\sim ACD\Rightarrow \angle BAE=\angle CAD.$$

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引理:直角$ \triangle ABC $中,$ \angle ACB=90\du  $,$ C $在$ AB $上的垂足为$ D $,$ P $为以$ B $为 ...
乌贼 发表于 2018-2-20 16:54


多说一句,延长PD交圆B于点F,则AB平分角PAF,这其实也是一道经典的几何题,参阅 朱德祥 编著的 初等几何研究 等角的证法 相关章节。

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回复 9# kuing
发网友的证明。原来这个叫陪位中线,和等角线有关联。
1.gif
2018-3-11 19:12

过$A$作$E'F' \sslash BC$,交点如图。
然后因为$\angle F' = \angle EDC = \angle EPD$,所以$DE \cdot DF' = DP \cdot DA$,同理$DP\cdot DA = DF\cdot DE'$,于是$E'F'$和$EF$互为逆平行线。
显然$PFDE$是调和四边形,因此$\frac{F'A}{DA} = \frac{EP}{ED} = \frac{FP}{FD} = \frac{E'A}{DA}$,即$DA$是$E'F'$中线。
于是$DM,DA$分别平分一组逆平行线,因此$DM,DA$互为等角线,即角相等。

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回复 31# abababa

不过证明$DA$是中线,可以不用调和四边形:
$\angle F'=\angle DFE=\angle CED=\angle AEF'$,所以$AF'=AE$,同理$AE'=AF$,而$AE=AF$,所以$AE'=AF'$。

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回复 31# abababa


这个辅助与3#互相补充,在A点三组平行线,均能见效,有点意思。

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回复 32# abababa

发现点$P$也是多余的,因为$\angle F'=\angle EDC=\angle EFD$,自然就得到逆平行线了。这样只要用到一角被一组逆平行线所截的线段,被这角顶点所引的两条射线平分,则这两条射线关于这角互为等角线这个性质。

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