本帖最后由 realnumber 于 2018-2-12 23:23 编辑
记$a_{n+1}=f(n)a_n+g(n)$
那么得
\[a_2=f(1)+g(1)\]
\[a_3=f(2)f(1)+f(2)g(1)+g(2)\]
.......
\[a_n=f(n-1)\cdots f(1)+f(n-1)\cdots f(2)g(1)+f(n-1)\cdots f(3)g(2)+\cdots +f(n-1)g(n-2)+g(n-1)\]
模仿kk的取对数后放缩得
\[a_n<e^{1-\frac{1}{n}}+\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}-\frac{1}{n}}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}e^{\frac{1}{n}-\frac{1}{n}}\]
右边小于
\[e+\sqrt{e}(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...)<e+\sqrt{e}\] |