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[数论] 下列哪一個方程式有最大實根

本帖最后由 ta5607 于 2018-2-11 11:28 编辑

考完AMC12後還是有兩題想不透 QQQ
求解~謝謝啦 !

下列哪一個方程式有最大實根
(A)\(x^{19}+2018x^{11}+1=0\)
(B)\(x^{17}+2018x^{11}+1=0\)
(C)\(x^{19}+2018x^{13}+1=0\)
(D)\(x^{17}+2018x^{13}+1=0\)
(E)\(2019x+2018=0\)

對於正整數n及非零的數字a,b,c,令\(A_{n}\)為n位數,他每一位數的數字都是a;\(B_{n}\)為n位數,他每一位數的數字都是b;\(C_{n}\)為2n位數,他每一位數的數字都是c。試問若至少存在兩個n滿足\(C_{n}-B_{n}=A_{n}^{2}\),則a+b+c最大可能值為多少
(A)12
(B)14
(C)16
(D)18
(E)20
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回复 11# ta5607
台湾的题目

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回复 5# kuing

27951023_2003300313292197_46642540_oo.jpg
2018-2-11 18:04


考卷上真的這樣寫 QQ

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回复 9# kuing

而且很容易知道,当 $n\geqslant3$ 时除了上述两个解之外就再无其他解。

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易证
\[C_n-B_n-A_n^2=-\frac 1{81}(10^n-1)\bigl((a^2-9c)10^n-a^2+9b-9c\bigr),\]
那么至少存在两个 $n$ 使 $C_n-B_n=A_n^2$ 等价于
\[a^2-9c=-a^2+9b-9c=0,\]
易知只有两解:$a=3$, $b=2$, $c=1$ 以及 $a=6$, $b=8$, $c=4$。

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本帖最后由 realnumber 于 2018-2-11 15:27 编辑

20=9+9+2=9+8+3=9+7+4=9+6+5=8+8+4=8+7+5=8+6+6
=7+7+6
比如第一个9,9,2,显然不会有,这些都可以排除掉吧,好像没问题了?
那么最大是18( 很不负责)

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回复 5# kuing


    也许楼主用英语说中文

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本帖最后由 realnumber 于 2018-2-11 15:56 编辑

第二题,也许需要程序辅助,我也不会,
88-7=9^2,7+8+9=24,要证明7,8,9再无对应的解?
66-2=8^2
55-6=7^2  ,5+6+7=18
44-8=6^2  ,4+8+6=18  看来只要考察20就够了,再想想---(这里想歪了,还是看9楼吧)

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“下列哪一個方程式有最大實根”是不是说成“下列哪一個方程的實根最大”才是?

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AMC12
全美数学竞赛12(The American Mathematics Competition 12

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回复 2# realnumber

了解了,謝謝
那第二題呢 ?

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第一个是B,
理由E这根接近-1,B的根接近-0.5,也可以把-2017/2018代入BE来排除E
ABCD左边构造函数,求导后说明在x<0时,函数单调递增。又-1代入都小于0,0代入大于0,设方程B的根为t(即$t^{17}+2018t^{11}+1=0$,-1<t<0),把t代入ACD左边,比如A的左边,这样$t^{17}t^2+2018t^{11}+1>0$,说明A的根在(-1,t)内

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