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» 圆锥曲线的切线与光学性质总结帖
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发表于 2018-2-11 11:09
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只看该作者
[几何]
圆锥曲线的切线与光学性质总结帖
本帖最后由 zhcosin 于 2018-2-11 13:38 编辑
论坛上总是会出现关于圆锥曲线的切线与光学性质的帖子,为了避免重复性工作,开此帖把这方面的问题说个一清二楚。
此帖中,圆锥曲线都以标准方程出现。首先是切线的几何特征,结论是:
椭圆上某点处的切线,是该点与两个焦点构成的焦点三角形在此点处的外角平分线,而双曲线则内角平分线,对于抛物线,是该点的焦半径与过该点平行于对称轴的直线所形成夹角的平分线。
相应的,圆锥曲线的光学性质是:
从椭圆一个焦点发出的光线,经椭圆反射后经过另一个焦点,双曲线则是:从一个焦点发出的光线,经双曲线反射后,反射光线的反向延长线通过另一个焦点,而从抛物线一个焦点发出的光,经抛物线反射后,反射光线将平行于其对称轴。
这里只给出椭圆的切线几何特征与光学性质的证明:
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2018-2-11 10:56
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2018-2-11 10:56
注意:本文中的切线,都是按照直线与圆锥曲线只有一个公共点来定义的。
然后从坐标几何的角度,来讨论一下切线的方程,结论大家其实都是知道的,关键是证明,当然有了前面的几何特征,各种平分线都是可以直接求出的,所以切线方程也自然就有了,这算是第一个证明。
接下来给出第二个证明,是从不等式角度出发的证明
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2018-2-11 10:57
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第三个证明,是从参数方程出发,只给出椭圆的,双曲线也是类似的
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2018-2-11 10:56
第四个证明,是利用坐标伸缩变换得来的
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2018-2-11 13:37
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2018-2-11 13:37
此外,求导求切线方程也是可以的,读者可自行完成。
至此,切线问题基本上已经清楚了,但是一个新的问题就来了,就是当点$P(x_0,y_0)$不在圆锥曲线上时,我们仍然可以写出那些直线的方程,不过,这时它们显然就不再是切线了,那是什么样的直线呢?这就引出极点与极线的问题来了,椭圆的相关讨论如下:
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数学暗恋者,程序员,喜欢古典文学/历史,个人主页: https://zhcosin.coding.me/
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发表于 2018-2-11 11:10
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本帖最后由 zhcosin 于 2018-2-11 13:27 编辑
我先占个楼,其实这些内容笔记中都有,只是散落在书中各处。
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