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[几何] 一个群里的椭圆题目

如图
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本帖最后由 isee 于 2018-2-10 21:08 编辑

回复 1# 2009


     斜边定点$-\dfrac {a^2-1}{a^2+1}$,粗算了下,似乎斜边的斜率与这个不好挂上。。

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嗯,这题相当于两道题的合成:证定点、弦过定点求面积最值,这两题都需要大算特算,真是……
定点的结论见这帖 http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=2623
求最值的话设斜边的斜率搞韦达之类的来算应该不成问题,可我不想动。

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a=3。

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其实不用搞什么定点,直接算还简单些。

为方便书写,记 $1/a^2=m\in(0,1)$,设直线 $AB$ 的方程为 $y=kx+1$,代入椭圆方程 $mx^2+y^2=1$ 中,解得点 $B$ 的横坐标为
\[x_B=-\frac{2k}{m+k^2},\]
因此
\[AB=\sqrt{1+k^2}\abs{x_B}=\frac{2\abs k\sqrt{1+k^2}}{m+k^2},\]
作置换 $k\to-1/k$,得
\[AC=\frac{2\sqrt{1+k^{-2}}}{\abs k(m+k^{-2})},\]
因此
\begin{align*}
S&=\frac12AB\cdot AC\\
&=\frac{2\sqrt{1+k^2}\sqrt{1+k^{-2}}}{(m+k^2)(m+k^{-2})}\\
&=\frac{2\sqrt{2+k^2+k^{-2}}}{m^2+1+m(k^2+k^{-2})}\\
&=\frac{2\abs{k+k^{-1}}}{(1-m)^2+m(k+k^{-1})^2},
\end{align*}
令 $t=\abs{k+k^{-1}}\geqslant2$,则
\[S=\frac{2t}{(1-m)^2+mt^2}=\frac2{\frac{(1-m)^2}t+mt},\]
所以
\[S_{\max}=\led
&\frac2{\frac{(1-m)^2}2+2m}=\frac4{(1+m)^2}, && \frac{1-m}{\sqrt m}\leqslant2, \\
&\frac1{(1-m)\sqrt m}, && \frac{1-m}{\sqrt m}>2,
\endled\]
写回 $a$,即
\[S_{\max}=f(a)=\led
&\frac{4a^4}{(a^2+1)^2}, && a-\frac1a\leqslant2, \\
&\frac{a^3}{a^2-1}, && a-\frac1a>2,
\endled\]
可以证明 $f(a)$ 递增且 $f(3)=27/8$,所以 $a=3$。
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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kk这里用了一个常识:
当线段的一个固定端点在二次曲线上,则另一个变动的端点(也在此二次曲线上)可以用某个参数(例如斜率参数)表示出来(例如用韦达定理求出另一个变动的端点的横坐标)。从而成功的表示出三角形每个点的坐标(此话在本论坛我不止评论过一次了,但不知链接走在何处了),于是三角形的面积就可以用某个公式了(例如行列式的面积公式算一个,不过本题有垂直,也可以不用此公式),

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回复 6# 其妙


    本题的难点在于最值,不在面积表达式。。。。

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回复 7# isee
面积表达式都出来了,最值还会远吗?讨论一下双钩函数即可(不过如此的计算量我是算不正确的)

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