Infinity

楼主应该说明上述等式对于$n$成立的范围，否则有可能得出矛盾。周期数列可表示为三角函数的表达式，本质上是单位根的周期性。

Infinity

如果楼主的意思是 $c,a,c,b,c,a,c,b,\cdots$ 这种数列，那么其通项为\[\begin{split}f(n)&=\frac{c}{4}\sum_{k=0}^3e^{\frac{2k(n-1)\pi i}{4}}+\frac{a}{4}\sum_{k=0}^3e^{\frac{2k(n-2)\pi i}{4}}+\frac{c}{4}\sum_{k=0}^3e^{\frac{2k(n-3)\pi i}{4}}+\frac{b}{4}\sum_{k=0}^3e^{\frac{2kn\pi i}{4}}\\
&=\frac{1}{4} \left((-1)^n (a+b-2 c)-(a-b) \left(\cos\frac{n\pi}{2}+\cos \frac{3n\pi}{2}\right)+a+b+2 c\right)\end{split}\]

Infinity

回复 10# kuing

假设$n>0$以$a_{2n}=a_n$分析，可知$a_1$是孤立的，可抛去。
设$a_2=s,a_3=t$为初始条件，分析$n>3$的项。为方便，我们限定$k>0$.
$a_{4k}=a_{2k}$，下标可以不断除以2，直到等于2或者等于一个奇数为止。
当除到等于2时，则为 $a_2=a_4=a_8=a_{16}=\cdots=a_{2^{k+1}}=s$
当除到等于奇数时，就有点复杂。因为$a_{4k+2}=a_{2k+1}$，当除到只剩下3时，由于$a_3=t$，这类情况就是$a_3=a_6=a_{12}=a_{24}=\cdots=a_{3\cdot2^k}=t$.
若不是3，那么说明$n$一定是是$2^p(4k+1)$或$2^p(4k+3)$的情形，可根据已知条件得出值。

可见数列的奇数项是有周期性的，在偶数项中除去越来越分散地嵌入的$s$和$t$之外，随着$n$增大，偶数项中的01也是有规律地出现，且周期间隔按指数增长。