没有简易的公式,分倾斜角是否是90°,死算。
走走看看 发表于 2018-2-3 12:17
无需分是否90°,计算也是简单的,还没到“死算”的程度。
设直线参数方程 $\led
x&=m+t\cos \theta, \\
y&=t\sin \theta
\endled$($t$ 为参数),与抛物线联立得
\[t^2\sin ^2\theta =2p(m+t\cos \theta ),\]
所以弦长
\[L=\abs{t_1-t_2}=\sqrt {(t_1+t_2)^2-4t_1t_2}=\sqrt {\left( \frac {2p\cos \theta }{\sin ^2\theta } \right)^2+\frac {8pm}{\sin ^2\theta }}=\frac {2\sqrt {p^2+p(2m-p)\sin ^2\theta }}{\sin ^2\theta },\]
或者我们再设 $m=\lambda p$,则
\[L=\frac {2p}{\sin ^2\theta }\sqrt {1+(2\lambda-1)\sin ^2\theta }.\]
可以看到,当 $\lambda=1/2$ 时根号就没掉了,这时公式最简洁,另外 $\lambda=0$ 也算简洁,这些都是特殊情况。 |