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[几何] 任意四面体的外接球的半径(克列尔(A.L.Crelle)公式)

本帖最后由 isee 于 2018-2-1 09:20 编辑

克列尔(A.L.Crelle)公式

对任意四面体$ABCD$,其体积$V$和外接球半径$R$满足$$6RV=\sqrt{p(p-aa_1)(p-bb_1)(p-cc_1)}.$$
   
其中$p=\frac 12(aa_1+bb_1+cc_1)$,$a,a_1,b,b_1,c,c_1$分别为四面体的三组对棱的长.





简单引理:四面体的体积公式之一
       
$V=\frac 2{3a}\cdot S_1S_2\cdot \sin \theta$,其中,$S_1,S_2$为以$a$为公共棱的两个面的面积,$\theta$为这两个面所成的二面角.
       
此式的证明极易,只需要将$V=\frac 13Sh$中的$h$用这两个面的夹角表示即可.

证明:如图所示,过$A$作四面体外接球的切面$\alpha$,过$D$作平面$ABC$平行平面$\beta$.  平面$\alpha$,平面$\beta$,平面$ ABD$相交于点$E$;平面$\alpha$,平面$\beta$,平面$ ACD$相交于点$F$.
       

       

triangular.png
2018-2-1 09:15




平面$\beta \sslash $平面$ABC$,平面$ACD$与这两面均相交,由平面平行性质可知$AC\sslash DF$,需要提醒的是,$AC$与$DF$是否相等无法判断.
       
于是$\angle ADF=\angle DAC$,由于平面$\alpha$是四面体外接球的{\color{red}切面},所以在平面$ACD$中,$AF$是$\odot ACD$在点$A$的切线,由弦切角定理,知$\angle FAD=\angle ACD$,所以$$\triangle FAD \sim \triangle DCA\Rightarrow \frac{AF}a=\frac cb\Rightarrow AF=\frac {ac}b.$$
       
       
同理由$AB\sslash DE$,有$\angle ADE=\angle DAB$在平面$ABD$中$AE$为$\odot ABD$的切线,有$\angle EAD=\angle ABD$,所以$$\triangle EAD \sim \triangle DBA\Rightarrow \frac{AE}{b_1}=\frac c{a_1}\Rightarrow AE=\frac {b_1c}{a_1}.$$
       
       
下面求$EF$的长.


       
同样的方法,如图,作平面$\gamma\  \sslash$平面$ACD$,这样三面相交得到点$G$,$H$.  同样可得$$AG=\frac {a_1c_1}b,AH=\frac{a_1b_1}c.$$

平面$\alpha\  \cap$平面$ABC=AG$,平面$\alpha \ \cap$平面$\beta=EF$,平面$ABC\sslash $平面$\beta$,于是$AG\sslash EF$,同理知$GH\sslash AF$,而$H,A,E$在一条线(平面$\alpha$与平面$ABD$的交线)上,所以$$\triangle  EFA \sim \triangle AGH\Rightarrow \frac{EF}{AG}=\frac {AE}{AH}\Rightarrow EF=\frac {c^2c_1}{a_1b}.$$
       
将$\triangle AEF$放缩$\dfrac{a_1b}{c}$倍,就得到三边为$aa_1$,$bb_1$,$cc_1$的三角形,由海伦公式,将此三角形的面积记为$$S=\sqrt{p(p-aa_1)(p-bb_1)(p-cc_1)}.$$
       
设点$D$在四面体$ABCD$外接球过$A$的直径上的投影为$D'$,则$$h=AD'=\frac{AD^2}{2R}=\frac {c^2}{2R}.$$
       
这样一来,$$V_1=V_{D-AEF}=\frac13 S \left(\frac c{a_1b}\right)^2 h=\frac{c^4}{a_1^2b^2}\cdot \frac{S}{6R}.$$
       
另一方面,四面体$ADEF$与四面体$ABCD$的体积比为

\begin{align*}\frac{V_1}{V}&=\frac{S_{\triangle ADF}\cdot S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ACD}\cdot S_{\triangle ABD}}\\
&=\frac{S_{\triangle ADF}}{S_{\triangle ACD}}\cdot \frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABD}}\\
&=\left(\frac{AF}a\right)^2\cdot \left(\frac{AE}{b_1}\right)^2\\
&=\frac {c^2}{b^2}\cdot\frac {c^2}{a_1^2}=\frac {c^4}{a_1^2b^2}
\end{align*}

       
$$\therefore V_1=\frac {c^4}{a_1^2b^2}\cdot V.$$
       
       
从而$$6RV=\sqrt{p(p-aa_1)(p-bb_1)(p-cc_1)}.$$





PS:1988年赵光明 、武建沛在《数学教学》发表了“任意四面体外接球半径的计算公式”,从角出发;本文从六条边出发,即 克列尔(A.L.Crelle)公式,参考了唐立华著的《向量与立体几何》;沈文选、张垚、冷岗松著的《奥林匹克数学中的几何问题》
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噢噢,这公式确实不错。那么任意四面体的内切球的半径公式是不是与此类似?

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