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来自人教论坛的一道初三数学竞赛题

原帖地址:https://bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=3187072

题目:
求教  2016 年上海市初三数学竞赛 第一题
QQ截图20180130173950.jpg
2018-1-30 17:44


话说,对题目出处真的不敢相信。

首先,这题的背景显然是如下级数
\[\arctan x=x-\frac{x^3}3+\frac{x^5}5-\frac{x^7}7+\cdots\]
以及关于 $\pi$ 的经典等式
\[\frac\pi4=4\arctan\frac15-\arctan\frac1{239},\]
由此可见,原式与 $\pi$ 非常接近,但到底有多接近?是否能精确到题目要求的 8 位小数?这还需要去做误差估计。

显然,当 $0<x<1$ 时,上述级数为交错级数且各项的绝对值递减,于是由莱布尼茨定理可知
\begin{align*}
\arctan\frac15&=\frac15-\frac1{3\cdot5^3}+\frac1{5\cdot5^5}-\cdots-\frac1{11\cdot5^{11}}+M,
\quad\text{其中}~0<M<\frac1{13\cdot 5^{13}},\\
\arctan\frac1{239}&=\frac1{239}-\frac1{3\cdot239^3}+N,
\quad\text{其中}~0<N<\frac1{5\cdot239^5},
\end{align*}
将原式记为 $F$,则
\[\pi=16\arctan\frac15-4\arctan\frac1{239}=F+16M-4N,\]
下面证明 $16M<2\cdot10^{-9}$ 且 $4N<10^{-10}$,前者等价于证 $2^{12}<13\cdot5^4$,只需证 $2^9<5^4$,显然成立;后者等价于证 $4\cdot10^{10}<5\cdot239^5$,更显然成立。故此,我们有
\[-10^{-10}<-4N<16M-4N<16M<2\cdot10^{-9},\]
所以
\[\pi-2\cdot10^{-9}<F<\pi+10^{-10},\]
然后我们来背一下圆周率:$\pi=3.14159265{\color{red}{35}}89793\ldots$,所以
\[3.14159265{\color{red}{15}}<F<3.14159265{\color{red}{37}},\]
这样,$F$ 精确到 8 位小数就是 $3.14159265$。

总算证出来了,但初中生怎么搞?强行算出原式的精确值?然而实际上
\[F=\frac{1451265454989635848}{461952141943359375},\]
化成小数为 $3.141592652616334\ldots$,也真是就 8 位。

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冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

说不定人家是允许使用计算器的哩

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印象里计算机计算Pi就是这么搞的,什么马青公式

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回复 2# zhcosin

那对计算器也有要求,像我们那个年代用的那种计算器恐怕就会因精度不够而产生偏差,当然现代的应该没什么问题了……

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更新了一下1楼中间,补充了 $16M-4N$ 那不等式的简证,完全不用按计算器。
顺便加了个颜色方便对照。

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本帖最后由 乌贼 于 2018-2-1 01:35 编辑

硬算:\begin{align*}
&16(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{5^3}+\dfrac{1}{5}\times \dfrac{1}{5^5}-\dfrac{1}{7}\times \dfrac{1}{5^7}+\dfrac{1}{9}\times \dfrac{1}{5^9}-\dfrac{1}{11}\times \dfrac{1}{5^{11}})-4(\dfrac{1}{239}-\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{239^3})\\\approx&3.2-0.042-\dfrac{1}{1500}+0.001024-0.000029257-\dfrac{1}{7\times 10^9}+0.00000091+\dfrac{1}{45\times 10^8}-0.00000002978\\&-\dfrac{1}{11\times 10^{10}}-0.01673640167-0.000000097666\\\approx&3.15899562322-0.00066666666-0.01673640167+0.000000097666\\\approx&3.14159265255\\\approx&3.14159265
\end{align*}

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回复 6# 乌贼

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回复 6# 乌贼


    半夜适合来硬的

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回复 8# isee

没想到你也……

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回复 9# kuing


    6楼是硬算的呀,没毛病。。。

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上海是可以用计算器的

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回复 11# Tesla35

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