这个证法是错的。
他想运用的是以下结论:设 $f(x)$ 在区间 $D$ 内有定义,设 $d\geqslant0$ 且 $m-d$, $m+d\in D$,若在 $D$ 内恒有 $f''(x)\geqslant 0$,则
\[\int_{m-d}^{m+d}f(x)\rmd x\geqslant f(m)\cdot 2d,\]
若恒有 $f''(x)\leqslant 0$,则上式反向成立。若 $d>0$ 且 $f''(x)$ 不存在为恒零的区间,则不等式的等号也取不了。 也就是说,对于凸函数有上述积分不等式,其几何意义画个图看面积就知道。
而1楼证法的问题在于,红圈里的函数并不是 $f(x)$,而是 $f'(x)$,故此,要使用此结论,需要的是三阶导数 $f'''(x)>0$ 才行,然而实际上 $f'''(x)=(x+1)e^x$ 有正有负,所以是不能用这个结论来推的。 |