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[函数] 请教:极值点偏移问题

请教:极值点偏移问题
①下列解法中的不等式,是如何来的?有没有高数的背景?或者几何意义?
②其中第一问中的a>0
QQ图片20180126232941.png
2018-1-26 23:31
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道运天地宽  丹心照气圆

这个证法是错的。

他想运用的是以下结论:
设 $f(x)$ 在区间 $D$ 内有定义,设 $d\geqslant0$ 且 $m-d$, $m+d\in D$,若在 $D$ 内恒有 $f''(x)\geqslant 0$,则
\[\int_{m-d}^{m+d}f(x)\rmd x\geqslant f(m)\cdot 2d,\]
若恒有 $f''(x)\leqslant 0$,则上式反向成立。若 $d>0$ 且 $f''(x)$ 不存在为恒零的区间,则不等式的等号也取不了。
也就是说,对于凸函数有上述积分不等式,其几何意义画个图看面积就知道。

而1楼证法的问题在于,红圈里的函数并不是 $f(x)$,而是 $f'(x)$,故此,要使用此结论,需要的是三阶导数 $f'''(x)>0$ 才行,然而实际上 $f'''(x)=(x+1)e^x$ 有正有负,所以是不能用这个结论来推的。

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嗯嗯

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回复 2# kuing


   记原函数两零点为m和n,n<1<m<2,分类讨论下:
若n<0,则m+n<2;若n>0,则那结论成立。

但是,这样的结论在高考证明中能直接应用?

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回复 4# 游客

嗯,这样分类之后是可以那样用了。

结论在考试中当然是要先证明再用了,不过证明也是简单的,设 $F'(x)=f(x)$,则不等式就是 $g(d)=F(m+d)-F(m-d)-f(m)\cdot2d\ge0$,由下凸及琴生有 $g'(d)=f(m+d)+f(m+d)-2f(m)\ge0$,于是……。
当然如果用琴生也不许,那就继续求导下去,总是可以的。

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