[几何] 来自人教群一道圆内接四边形相关的比例

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如附件。

文字如下：已知圆内接四边形$ABCD$，两组对边的延长线分别交$E$，$F$两点。
求证：（1)$EC\cdot DF=CF\cdot BE$；（2）若$\triangle ABD$是等边三角形时，则：$BD^2=BE\cdot DF$.

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好久未见这种题了。目前中学基本不放圆幂定理了。

此题初看是圆幂定理，细看其实是相似三角形。

2018-1-14 11:25

如图，点$E$'在直线$ED$线上，使$FD=DE'$，则$$\angle EBC=\angle ADC=\angle E'DF=\angle CE'F。$$
从而
$$\triangle BEC \sim \triangle E'FC.$$

$$\frac{BE}{EC}=\frac{FE'}{FC}=\frac{FD}{FC}\iff BE\cdot FC=EC\cdot FD.$$

    当$\triangle ABD$为正三角形，则$$\angle EBD=\angle BCD=\angle BDF=120^\circ.$$

    从而$$\triangle EBD \sim \triangle BCD\sim\triangle BDF\Rightarrow \frac {BE}{BD}=\frac{BD}{DF}.$$

    化积即可。

色k

第一问懒得画辅助线的话用正弦定理，等价于互补角正弦等，不过其实和那辅助线本质上一样。。。