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[不等式] a+b=1/2,求证a^8+b^8≥1/2^7

这道题经验证是错的,但我看不出来如下解答中的错误何在。
来自教师备课网中的资料:
不等式证明.PNG
2018-1-13 21:40

请大师们帮我看看。
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红字第三行开头开始错,那里外面应该是4次方了

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本帖最后由 走走看看 于 2018-1-14 09:44 编辑

谢谢k神!

还想请教一个问题:
正数x,y,z满足2x+2y+z=1,求:3xy+yz+zx最大值。
网上的答案都没有用柯西不等式,但这道题却是柯西不等式中的练习题某一大题的第一小题。

您看这样解答行不行?
$3xy+yz+zx≤3*(\frac{x+y}{2})^2+(\frac{y+z}{2})^2+(\frac{z+x}{2})^2,成立的条件是x=y=z,$
这样就变成了求左边的最小值。
$因为[3*(\frac{x+y}{2})^2+(\frac{y+z}{2})^2+(\frac{z+x}{2})^2](3+1+1)≥[3*\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}]^2=1,成立条件也是x=y=z,$
$因而3xy+yz+zx最大值为\frac{1}{5}。$

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$3xy+yz+zx≤3*(\frac{x+y}{2})^2+(\frac{y+z}{2})^2+(\frac{z+x}{2})^2,成立的条件是x=y=z,$
这样就变成了求左边的最小值。
$因为[3*(\frac{x+y}{2})^2+(\frac{y+z}{2})^2+(\frac{z+x}{2})^2](3+1+1)≥[3*\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}]^2=1,成立条件也是x=y=z,$
$因而3xy+yz+zx最大值为\frac{1}{5}。$
走走看看 发表于 2018-1-14 08:28

你这解题格式:
求 $F$ 的最大值,因为 $F\le G$,变成求 $G$ 的最小值,因为 $G\ge C$,两个取等条件相同,因而 $F$ 的最大值为 $C$。
逻辑就是:
由 $F\le G$, $G\ge C$ 且两个取等条件相同,得出 $F\le C$。
这简直。。。。。。。。

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谢谢您!

我搞不清楚,上面的题目和如下的题目有什么不同。
$对于任意的a>b>c,\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}≥\frac{t}{a-c}恒成立,求t的最大值。$

$t≤(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c})(a-c),也就是求\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}的最小值。$
$(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c})(a-c)=(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c})[(a-b)+(b-c)]≥(1+1)^2=4。$
$所以t≤4,t的最大值为4。$

这两题有什么本质区别呢?请赐教!

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回复 3# 走走看看
未命名2.PNG
2018-1-14 21:42

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回复 5# 走走看看

4楼的 F 是 3xy+yz+zx,5楼的 t 是什么?

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回复 7# kuing

F是变量,t是参数。
这就是它们的不同吗?太玄妙了!

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回复 6# 游客

完整的题目是:
$正数x,y,z满足2x+2y+z=1,$
$(1)求:3xy+yz+zx最大值;$
$(2)证明:\frac{3}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+zx}≥\frac{125}{26} 。 $
在提供的参考答案里,(1)没有用柯西不等式;(2)用的是柯西不等式。

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回复 9# 走走看看

这样看命题者就是想让你利用第一问的结果来证第二问(见《撸题集》第 33 页题目 1.1.39)。

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回复 10# kuing

不错,应该是这样的。

$另外,若这样:3xy+yz+zx≤3*(\frac{x+y}{2})^2+(\frac{y+z}{2})^2+(\frac{z+x}{2})^2,成立的条件是x=y=z,$
$而2x+2y+z=1,所以当x=y=z=\frac{1}{5}时,上式≤\frac{5}{25}=\frac{1}{5}。行吗?$

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唉。。。。。。。。。

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本帖最后由 走走看看 于 2018-1-15 12:52 编辑

回复 12# 色k

想把相关问题彻底搞清楚,因为网上作业帮有好几个人在回答其他问题问题时,是这样处理的。
既觉得怀疑,但又觉得没有什么不妥,符合不等式的传递性。

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回复 11# 走走看看
未命名.PNG
2018-1-15 16:09

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本帖最后由 走走看看 于 2018-1-17 11:09 编辑

回复 14# 游客

谢谢游客大师!按照您的图示,确实不能那样断定。

不过,这里有个链接被人选为最佳答案。可见概念不清的大有人在。
https://www.zybang.com/question/ ... 99fafd9a957f18.html

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回复 1# 走走看看


现在看来,错误比较明显。

按照如下方式书写就不容易犯错了:

柯西不等式的连续应用.PNG
2018-2-22 12:35

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回复 6# 游客

这个解答比参考答案的解答自然些。
参考答案把z替换成x+y,然后考察x+y的一元二次函数。

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a+b=1/2,求证a^8+b^8≥1/2^7,
有没有a,b为正数的条件?

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本帖最后由 走走看看 于 2018-2-23 10:15 编辑

回复 18# 其妙

$题目错,应是\frac{1}{2^{15}}。$
没有限定。

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回复 19# 走走看看
a+b=1/2,求证a^8+b^8≥1/2^15,
假如你不想用柯西不等式,可以考虑用均值换元(等差数列换元):设a=1/4+t,b=1/4-t,下面用二项式定理(8次方的展开式):
则a^8+b^8=(1/4+t)^8+(1/4-t)^8=2▪(1/4)^8+2▪t^8+……(只剩下t的偶次方,且t的偶次方系数为正数,t的奇次方抵消了变为0)
                 ≥2▪(1/4)^8=1/2^15

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