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[函数] 三次函数的切线问题

本帖最后由 敬畏数学 于 2018-1-12 12:04 编辑

直线$mx+ny+k=0$与曲线$C:y=ax^3+bx^2+cx+d(a不为0)$交于点A,B,且曲线C在A,B点处的切线平行,证明:A,B的中点(异于A,B两点)一定落在曲线C上,且为曲线C的对称中心.
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有何难度啊,通过平移,三次曲线的方程可以变成这样
\[ y=px^3+qx \]
显然原点是这曲线的对称中心,它的导数
\[ y'=3px^2+q \]
显然关于纵轴对称,所以如果曲线上有$A$、$B$两个不同点处的切线平行,则必然这两点的横坐标互为相反数,那自然这两点就关于原点对称了,这不就完事了吗?

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不平移,直接用韦达定理也能算。

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回复 3# 游客 可以用零点式,相当导出三次方程伟大定理。是这样吗?

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回复 4# 敬畏数学
未命名1.PNG
2018-1-14 16:18

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回复 5# 游客
nice!

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回复 5# 游客
我是作为问题在解决,你是当作考试题目在解答。

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1.代数运算也是解决问题的一种途径。
2、这个问题根本用不着解决:
三次曲线对称中心唯一,两侧切线斜率单调对称,想图结论就很明显。

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回复 8# 游客
此问题就想代数法证实一下。

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