\begin{align*}
\frac {b^2+2}{a+b}+\frac {a^2}{ab+1}&\geqslant \frac 2{a+b}+\frac {(a+b)^2}{a+b+ab+1}\\
&=\frac 2{a+b}+\frac {(a+b)^2}{(a+1)(b+1)}\\
&\geqslant \frac 2{a+b}+\frac {4(a+b)^2}{(a+b+2)^2}\\
&=\frac 12+\frac 1{a+b}+\frac 12+\frac 1{a+b}+\frac 1{\left( {\frac 12+\frac 1{a+b}} \right)^2}-1\\
&\geqslant 3-1,
\end{align*}$a=b=1$ 取等。 |