[数论] \(求[\frac{10^{10000}}{10^{100}+1}] \div 100的餘數\)

ta5607

\(求[\frac{10^{10000}}{10^{100}+1}] \div 100的餘數\)

kuing

令 $x=10^{100}$，则
\[\frac{10^{10000}}{10^{100}+1}=\frac{x^{100}}{x+1}=\frac{(-x)^{100}-1^{100}}{x+1}+\frac{1}{x+1},\]
因为
\[(-x)^{100}-1^{100}=(-x-1)\bigl((-x)^{99}+(-x)^{98}+\cdots +1\bigr),\]
所以
\[\frac{10^{10000}}{10^{100}+1}=x^{99}-x^{98}+x^{97}-\cdots +x-1+\frac{1}{x+1},\]
于是
\[\left[ \frac{10^{10000}}{10^{100}+1} \right]=x^{99}-x^{98}+x^{97}-\cdots +x-1,\]
显然 $x^{99}-x^{98}+x^{97}-\cdots +x$ 末尾至少100个零，减去1后全变成9，所以除以100的余数就是99。

ta5607

回复 2# kuing

$(-x)^{100}-1^{100}=(-x-1)\bigl((-x)^{99}+(-x)^{98}+\cdots +1\bigr)$

好像變負的就轉不過來欸....

kuing

回复 3# ta5607

$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})$