设 $ y=x^2+1+\sqrt{x^4-8x^2-16x+52} $,两边平方有,
\[(10-2y)x^2+16x+y^2-2y-51=0\]显然$y\ne5$,判别式$\Delta\geqslant0$有;
\[y\geqslant 7,-2\leqslant y\leqslant 2, \]事实上,
\[x^2+1+\sqrt{x^4-8x^2-16x+52}>2,\]即证,
\[\sqrt{x^4-8x^2-16x+52}>1-x^2,\]当$x^2\geqslant 1$不等式显然成立;
当$x^2<1$,两边平方,\[ 6x^2+16x-51<0 ,\]此式显然成立。
所以所求函数的最小值为7,当$x=2$时等号成立。 |