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相似大小地图放一起,证有且仅有一点代表同一位置

将一张包括边界的地图等比例缩小以后以任意角度放入原地图内(不将地图翻转)。
证明:有且仅有一点代表了两张地图的同一位置。
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回复 1# isee


    不动点。貌似应叙述为“必有表示同一位置的点重合”吧

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本帖最后由 zhcosin 于 2018-1-8 11:16 编辑

你只有两个操作: 等比例缩小与平移,等比例缩小的时候是有位似中心的(任意找两组对应点连线相交,只要你不找一条直线上的四点),而平移的时候,位似中心也跟着平移。所以实际上只要证明:等比例缩小一定有位似中心。

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回复 3# zhcosin

是旋转位似变换
还得证明位似中心一定在小图内

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回复 4# 色k
哦,他说不翻转,我看成不旋转了。。。。

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本帖最后由 hbghlyj 于 2019-6-9 22:39 编辑

设相似形F和F'的相似中心为O*,F'在F的内部,则相似比小于1**,假设O在F外部,O到F上(含边界)一点P有非零的最小距离***,经过旋转缩小,OP'<OP,所以P'在F的外部,与题设矛盾。
注:
*转角为零的情况另当别论
**对于某些不可计算面积的奇怪图形,这里是疑点
***这个最小距离是否存在有待商榷,比如以P为中心的螺旋形不存在最小距离
****是否翻转对这道题关系不大?
类似讨论见http://m.nowcoder.com/questionTe ... 4d2b2e563077f89ce36
相似形和反相似形通论参见《近欧》也举了地图作为直观形象

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原图记为T1,缩小的图记为S1,
S1在T1上有个全等的印子记为T2,T2在S1上的位置为S2
依次下去有T3,S3,T4,S4,...最后缩为一个点,因为满足$S_i\subset T_i,i=1,2,3,....$
$T1\supset T2\supset T3\cdots$,和《数学分析》里的闭区间套定理一样
这样可以解释吧

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回复 7# realnumber
是的。但是在下初中生试图找到一个严谨的初等证法。

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