本帖最后由 走走看看 于 2018-1-23 14:41 编辑
回复 15# isee
$设正四面体的棱长为6,以底面BCD的中心为原点,建立如图所示的空间直角坐标系。$
$易知A(0,0,2\sqrt{6} ),E(\sqrt{3},0,0 ),D(-2\sqrt{3},0,0 ),C(\sqrt{3},3,0)$
$设P、Q坐标分别为(x,y,z)、(x’,y’,z’),并设\vv{AP}=λ\vv{AE}, \vv{DQ}=μ\vv{DC}$
$则有:(x,y,z-2\sqrt{6} )= λ(\sqrt{3},0,-2\sqrt{6} ),(x’+2\sqrt{3} ,y’,z’)=μ(3\sqrt{3},3,0) $
$所以P(\sqrt{3}λ,0,2\sqrt{6}(1-λ) ),Q(3\sqrt{3}μ-2\sqrt{3},3μ,0 ),$
$所以 \vv{PQ}=(\sqrt{3}λ-3\sqrt{3}μ +2\sqrt{3},-3μ,2\sqrt{6}(1-λ)).$
$又 \vv{AE}·\vv{PQ}=0, \vv{DC}·\vv{PQ}=0, 即 \led27λ-9μ=18\\ 9λ-36μ=-18 \endled,\\$
$所以 \frac{AP}{AE}=10 。$ |