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[不等式] 根式、分式、含参、三元全对称

昨天这帖的错题经研究发现可以修改系数使之成立,结论如下。

命题:设 $x$, $y$, $z\geqslant0$, $x+y+z=3$, $k\geqslant9/2$,则有
\[\sqrt{\frac x{k-x}}+\sqrt{\frac y{k-y}}+\sqrt{\frac z{k-z}} \leqslant\frac3{\sqrt{k-1}}.\]
证明:由对称性不妨设 $x\leqslant y\leqslant z$,则 $z\geqslant1$, $x+y\leqslant2$,于是 $x/k+y/k\leqslant2/k\leqslant4/9<1/2$,根据《撸题集》第 155 页引理 2.1.2,可得
\[\sqrt{\frac{\frac xk}{1-\frac xk}}+\sqrt{\frac{\frac yk}{1-\frac yk}}\leqslant 2\sqrt{\frac{\frac xk+\frac yk}{2-\frac xk-\frac yk}},\]即
\[\sqrt{\frac x{k-x}}+\sqrt{\frac y{k-y}}\leqslant 2\sqrt{\frac{x+y}{2k-x-y}}=2\sqrt{\frac{3-z}{2k-3+z}},\]故只需证
\[2\sqrt{\frac{3-z}{2k-3+z}}+\sqrt{\frac z{k-z}}\leqslant \frac3{\sqrt{k-1}},\]两边平方等价于
\[4\sqrt{\frac{3-z}{2k-3+z}\cdot\frac z{k-z}}\leqslant \frac9{k-1}-\frac{4(3-z)}{2k-3+z}-\frac z{k-z},\]这里简略证明上式右边恒为正,将右边整理为 $9/(k-1)+5-8k/(2k-3+z)-k/(k-z)$,由此易知其关于 $z$ 上凸,因此只需验证当 $z=0$ 和 $z=3$ 时均为正即可,代入易知确实都为正,因此右边恒为正,这样,我们可以对上式再次两边平方,化简后最终等价于
\[\frac{9k(z-1)^2\cdot M}{(k-1)^2(k-z)^2(2k-3+z)^2}\geqslant0,\]其中
\[M=(k+8)z^2+(-4k^2+10k-24)z+4k^3-20k^2+25k,\]其关于 $z$ 的判别式为
\[\Delta=(-4k^2+10k-24)^2-4(k+8)(4k^3-20k^2+25k)=-64(k-1)^2(2k-9)\leqslant0,\]故 $M\geqslant0$,所以命题获证。

注:$k=9/2$ 是最佳系数,不能再小,皆因当 $k=9/2$ 时 $M=(5z-12)^2/2$,再小 $M$ 就会有负,不等式就不成立了。而当 $k=9/2$ 时,写成齐次不等式的形式为
\[\sum\sqrt{\frac x{x+3y+3z}}\leqslant\frac3{\sqrt7},\]如上所述可知其有两个取等条件 $x=y=z$ 和 $x:y:z=1:1:8$,这个不等式在《撸题集》第 660 页题目 5.1.58 的注里也曾提到过,但当年我还不会证。
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回复 1# kuing

"当年我还不会证。"

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还没完,《撸题集》第 155 页引理 2.1.2 其实还有反向的结论,为了方便看还是先把原文截上来。

yl212.PNG
2018-1-9 01:59

yl212zm.PNG
2018-1-9 01:59


其反向结论为:若 $x$, $y\geqslant0$, $x+y\in[2/3,1)$,则
\[\sqrt{\frac x{1-x}}+\sqrt{\frac y{1-y}}\geqslant 2\sqrt{\frac{x+y}{2-x-y}},\]等号成立当且仅当 $x=y$ 或 $\{x,y\}=\{0,2/3\}$。

证明:沿用上面证法中的东西,不同的是这里 $p\in[2/3,1)$。

在求导完之后,这回不放缩,而是考查其分子,令
\[h(q)=(1-p)\sqrt{\frac{1-p}q+1}-2+p,\]显然关于 $q$ 递减,当 $q\to0$ 时 $h(q)\to+\infty$,且 $h(p^2/4)=(2-p)(1-2p)/p<0$,故 $h(q)$ 在 $(0,p^2/4]$ 上先正后负,即 $g(q)$ 先增后减,于是有
\[g(q)\geqslant\min\left\{ g(0),g\left( \frac{p^2}4 \right) \right\},\]不难计算出
\[g(0)-g\left( \frac{p^2}4 \right)=\frac{p(3p-2)}{(1-p)(2-p)}\geqslant0,\]所以
\[g(q)\geqslant g\left( \frac{p^2}4 \right)=\frac{4p}{2-p},\]不等式得证,至于为何取等条件会多了一个,是因为 $p=2/3$ 时 $g(0)=g(p^2/4)$。

注:以上结论均可写成齐次不等式的形式,具体来说,当 $x+y=p$ 时
\begin{align*}
\sqrt{\frac x{1-x}}+\sqrt{\frac y{1-y}}\leqslant 2\sqrt{\frac{x+y}{2-x-y}}
&\iff\sqrt{\frac x{\frac{x+y}p-x}}+\sqrt{\frac y{\frac{x+y}p-y}}\leqslant 2\sqrt{\frac p{2-p}}\\
&\iff\sqrt{\frac x{(1-p)x+y}}+\sqrt{\frac y{(1-p)y+x}}\leqslant \frac2{\sqrt{2-p}},
\end{align*}再令 $p=1-1/\lambda$,则 $p\in[0,1/2]\iff\lambda\in[1,2]$, $p\in[2/3,1)\iff\lambda\in[3,+\infty)$,代入化简后得到:

(1)若 $\lambda\in[1,2]$,则
\[\sqrt{\frac x{x+\lambda y}}+\sqrt{\frac y{y+\lambda x}}\leqslant \frac2{\sqrt{\lambda+1}};\]
(2)若 $\lambda\in[3,+\infty)$,则
\[\sqrt{\frac x{x+\lambda y}}+\sqrt{\frac y{y+\lambda x}}\geqslant \frac2{\sqrt{\lambda+1}}.\]
这形式看起来更好看,而事实上,这也是《撸题集》第 174 页题目 2.1.28 所得到过的结论,我那个擦!兜兜转转又回到《撸题集》上了,真神奇……

既然存在有反向的引理,那三元的情况是否也会有反向结论?时间关系,明天再玩……
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