显然只需证 $x$, $y$, $z$ 均为正数的情形即可。
由均值有
\begin{align*}
x^2+y^4+z^6
&=6\cdot\frac{x^2}6+9\cdot\frac{y^4}9+10\cdot\frac{z^6}{10}\\
&\geqslant25\sqrt[25]{\left( \frac{x^2}6 \right)^6\left( \frac{y^4}9 \right)^9\left( \frac{z^6}{10} \right)^{10}}\\
&=25\sqrt[25]{\frac{(xy^3z^5)^{12}}{6^69^910^{10}}}\\
&=\frac{25}{\sqrt[25]{6^69^910^{10}(xy^3z^5)^{13}}}\cdot xy^3z^5,
\end{align*}
再由条件及均值有
\[
\frac45\geqslant x+y+z=x+\frac y3+\frac y3+\frac y3+\frac z5+\cdots +\frac z5\geqslant9\sqrt[9]{\frac{xy^3z^5}{3^35^5}},
\]
即
\[xy^3z^5\leqslant\left( \frac4{45} \right)^93^35^5,\]
因此
\[
\frac{25}{\sqrt[25]{6^69^910^{10}(xy^3z^5)^{13}}}\geqslant\frac{25}{\sqrt[25]{6^69^910^{10}\left( \left( \frac4{45} \right)^93^35^5 \right)^{13}}},\quad(*)
\]
开挂计算式 (*) 右边的数值约为 $668.989$,所以我们有更强式
\[x^2+y^4+z^6\geqslant668xy^3z^5.\]
注:式 (*) 右边并不是原不等式的最佳系数,因为过程中两次均值的取等条件并不相同,因此等号是取不了的($x=y=z=0$ 除外),开挂显示最佳系数是一个 31 次方程的根,约为 $679.616$。 |