[组合] 十位数多少

student_qwh

有45个数字：9个1，8个2，7个3，6个4，5个5，4个6，3个7，2个8，1个9。
在这45个数字中选十个数字组成一个十位数，这样的十位有多少个？

student_qwh

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isee

回复 1# student_qwh
不保证对，第一感觉。
$$\require{cancel}\cancelto{\phantom{\star}5\#}{\frac{A_{45}^{10}}{9!8!7!6!5!4!3!2!}}$$

kuing

回复 3# isee

分母比分子还大

kuing

下面的做法可能做复杂了，但具有一般性，即能够解决更一般的情形。

假设所选的十个数字中有 $a_k$ 个 $k$（$k=1$, $2$, \ldots, $9$），则这种情况所包含的十位数有 $10!/(a_1!a_2!\cdots a_9!)$ 个，故此，所求的十位数个数为
\[
10!\left( 1+x+\frac {x^2}{2!}+\cdots +\frac {x^9}{9!} \right)\left( 1+x+\frac {x^2}{2!}+\cdots +\frac {x^8}{8!} \right)\cdots \left( 1+x+\frac {x^2}{2!} \right)(1+x)
\]
的展开式中的 $x^{10}$ 的系数，开挂（MMC），输入

1. Coefficient[10!*Product[Sum[x^i/i!, {i, 0, k}], {k, 1, 9}], x^10]

复制代码

输出结果为 2103049130。

isee

回复 4# kuing


    哈哈哈哈，这感觉太差了！

isee

回复 5# kuing


    自定义个 \ldots 撤。。。。。