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[几何] 双曲线的离心率问题

F是双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a,b>0)$的左焦点,在$x$轴上$F$点的右侧有点$A$,以$FA$为直径的圆与双曲线的左右两支在$x$轴的上方的交点分别为$M、N$,证明:$\dfrac{|FN|-|FM|}{|FA|}=\dfrac{1}{e}$,其中,$e$为双曲线的离心率。
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设左准线交 $x$ 轴于 $P$,作别作 $MG$, $NH$ 垂直于 $x$ 轴,垂足为 $G$, $H$,如图。

捕获.PNG
2017-12-18 22:11


我们有
\begin{align*}
FG&=FP-GP=c-\frac{a^2}c-\frac{FM}e=\frac{c^2-a^2-aFM}c,\\
FH&=FP+HP=c-\frac{a^2}c+\frac{FN}e=\frac{c^2-a^2+aFN}c,
\end{align*}
因为
\[FA=\frac{FM^2}{FG}=\frac{FN^2}{FH},\]
所以
\[\frac{FA}c=\frac{FM^2}{c^2-a^2-aFM}=\frac{FN^2}{c^2-a^2+aFN},\]
故由等比定理得
\[\frac{FA}c=\frac{FN^2-FM^2}{a(FN+FM)},\]
亦即
\[\frac{FN-FM}{FA}=\frac ac=\frac1e.\]

总感觉做复杂了……
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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回复 2# kuing

神!

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回复 2# kuing

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本帖最后由 敬畏数学 于 2017-12-25 20:19 编辑

类比,椭圆也有同样的结论:把双曲线的“-”改为“+”即可。
普通方法,用到焦半径(先证明一下),简单就得到相应的结论。
设出A点坐标,就有圆的方程,再联立双曲线方程,消去$y^2$,得到关于x的一元二次方程,伟大定理,借用下焦半径公式,嗯就出来了。

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回复 5# 敬畏数学

嗯,而且上面的证法也一样可用。
捕获.PNG
2017-12-25 22:41

如图,有
\begin{align*}
FG&=GP-FP=\frac{FM}e-\left(\frac{a^2}c-c\right)=\frac{c^2-a^2+aFM}c,\\
FH&=HP-FP=\frac{FN}e-\left(\frac{a^2}c-c\right)=\frac{c^2-a^2+aFN}c,
\end{align*}
然后
\[\frac{FA}c=\frac{FM^2}{c^2-a^2+aFM}=\frac{FN^2}{c^2-a^2+aFN},\]
最后等比定理
\[\frac{FA}c=\frac{FN^2-FM^2}{a(FN-FM)} \riff \frac{FN+FM}{FA}=\frac ac=\frac1e.\]
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双曲线中:
未命名.PNG
2017-12-26 19:02

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回复 7# 游客

这解法有点意思

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回复 5# 敬畏数学

从理论上讲行,我觉得也可行。但不知何故,设了A(m,0),圆的方程与抛物线方程联立,再用焦半径公式,m始终不能消去。也就是说,得不到答案。不知道m的表达式如何得到。

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本帖最后由 走走看看 于 2017-12-29 11:17 编辑

回复 7# 游客


怎么会想到用向量解决呢?把F2也用上了。神奇!

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