原根猜想

蔡家雄猜想

设n≥3 ,
若(10^n - 1)÷9×2+1是素数，
则10是(10^n - 1)÷9×2+1的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×2+1] 具有最大循环节长度。

不超3000的n=3,8,11,36,95,101,128,260,351,467,645,1011,1178,1217,2442.

10是如下素数的原根：
223
22222223
22222222223
222222222222222222222222222222222223
22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222223

蔡家雄猜想

设n≥3 ,
若(10^n - 1)÷9×3+4是素数，
则10是(10^n - 1)÷9×3+4的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×3+4] 具有最大循环节长度。

不超3000的n=3,6,46,394,978,2586,2811,2968.

10是如下素数的原根：
337
333337
3333333333333333333333333333333333333333333337

蔡家雄猜想

设n≥3 ,
若(10^n - 1)÷9×4+3是素数，
则10是(10^n - 1)÷9×4+3的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×4+3] 具有最大循环节长度。

不超3000的n=4,10,20,26,722,1310.

10是如下素数的原根：
4447
4444444447
44444444444444444447
44444444444444444444444447

蔡家雄猜想

设n≥3 ,
若(10^n - 1)÷9×8-1是素数，
则10是(10^n - 1)÷9×8 -1的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×8 -1] 具有最大循环节长度。

不超3000的n=3,4,6,9,12,72,118,124,190,244,304,357,1422,2691.

10是如下素数的原根：
887
8887
888887
888888887
888888888887
888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888887

蔡家雄猜想

设n≥3 ,
若(10^n - 1)÷9×2+7是素数，
则10是(10^n - 1)÷9×2+7的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×2+7] 具有最大循环节长度。

不超3000的n=3,5,14,176,416,2505,2759.

10是如下素数的原根：
229
22229
22222222222229

蔡家雄猜想

设n≥3 ,
若(10^n - 1)÷9×7+2是素数，
则10是(10^n - 1)÷9×7+2的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×7+2] 具有最大循环节长度。

不超3000的n=66,86,90,102,386,624.

10是如下素数的原根：
777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777779
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777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777779

蔡家雄猜想

设P为素数，且4P+1同为素数，
若 (4P+1)  mod  40=29,
则整数10是素数(4P+1)的一个原根。
则1/(4P+1)具有最大循环节长度。
它等价于
设k为非负整数，
若30k+7和120k+29同为素数，
则整数10是素数(120k+29)的一个原根。
则1/(120k+29)具有最大循环节长度。

断言：这个猜想不可能被推翻。

这个猜想的编程验证：
s = 0;
For[k = 0, k <= 100000000, k++,
If[PrimeQ[7 + 30 k] && PrimeQ[29 + 120 k], s = s + 1;
  Print[s, "---", k, "---", 7 + 30 k, "----", 29 + 120 k, "---",
MultiplicativeOrder[10, 120 k + 29] == 120 k + 28]]]

蔡家雄猜想：

设P和2P+1都是素数，
根据费马小定理，易知
当素数P>=11时，
1/(2P+1)的循环节长度或是P, 或是2P.

若 (2P+1)  mod  40=3或27或39，
则1/(2P+1)的循环节长度一定是P ，（半节）

若 (2P+1)  mod  40=7或19或23，
则整数10是素数(2P+1)的一个原根。
则1/(2P+1)的循环节长度一定是2P 。（全节）

断言：这个猜想不可能被推翻。

这个猜想的编程验证：
s = 0;
For[p = 2, p <= 1000000, p++,
If[(PrimeQ[p] && PrimeQ[2 p + 1]) && (Mod[2 p + 1, 40] == 7 ||
   Mod[2 p + 1, 40] == 19 || Mod[2 p + 1, 40] == 23), s = s + 1;
  Print[s, "-----", p, "-----", 2 p + 1, "-------", Mod[2 p + 1, 40],
"-------", MultiplicativeOrder[10, 2 p + 1] == 2 p]]]

蔡家雄猜想

设n>=6,
设P和 2^n×P+1 都是素数，
若（2^n×P+1） mod 40=17或33，
则整数10是素数（2^n×P+1）的一个原根。
则1 /（2^n×P+1）具有最大循环节长度。